极限求值实战

已知函数在趋近点连续时，才可以直接代入；Paul 的极限计算讲解给出了这种方法的用法。函数值有定义并不足以支持代入：若函数在 $a$ 以外恒为 $0$ 、在 $a$ 处为 $1$ ，极限仍是 $0$ ，不是 $1$ 。遇到不定式时，应在不改变去心邻域内函数值的前提下变形。

因式分解与约分

当 $x\ne3$ 时，

\frac{x^2-9}{x-3}=x+3,

因此

\lim_{x\to3}\frac{x^2-9}{x-3}=6.

这里之所以可以约分，是因为极限只关心函数在去心邻域（punctured neighborhood）内的行为；原表达式在 $x=3$ 处即使无定义，也不影响极限的存在与数值。

通过乘以共轭式，可以暴露出可约去的公因式：

\begin{aligned} \lim_{x\to9}\frac{3-\sqrt{x}}{x-9} &=\lim_{x\to9}\frac{(3-\sqrt{x})(3+\sqrt{x})}{(x-9)(3+\sqrt{x})}\\ &=\lim_{x\to9}\frac{-1}{3+\sqrt{x}}\\ &=-\frac16. \end{aligned}

对于有理函数，当 $x \to \infty$ 时，可以用分母的最高次幂同时除以分子和分母，从而比较主导项（Leading Terms）：

\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2-4}{5x-2x^2} =\lim_{x\to\infty}\frac{3-4/x^2}{5/x-2} =-\frac32.

处理分段函数时，需分别使用各侧有效的公式计算左极限和右极限。只有当这两个值相等时，双侧极限才存在。

假设 $x\ne0$ ，

\begin{aligned} \lim_{h\to0}\frac{1}{h} \left(\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}\right) &=\lim_{h\to0}\frac{-1}{x(x+h)}\\ &=-\frac{1}{x^2}. \end{aligned}

这里的因子 $1/h$ 至关重要；如果没有它，原差值将直接趋近于零，无法得到导数的定义形式。

夹逼的例子：当 $x\ne0$ 时， $-x^2\le x^2\sin(1/x)\le x^2$ ，所以它在 $0$ 处的极限是 $0$ ，尽管其中一个因子不断振荡。数值表可以提示答案，但不能代替证明。

仅当遇到 $0/0$ 或 $\infty/\infty$ 型不定式，且满足以下所有条件时，才可使用洛必达法则将原商替换为 $f'(x)/g'(x)$ ：

切记：洛必达法则不是允许你随意对分子分母分别求导的通用许可，必须严格验证其适用前提。

洛必达法则应在学过求导法则后使用。如果所用导数公式本来就是由某个基本极限推导出来的，就不能再用它证明该极限，否则会循环论证。导数之商不收敛，也不能据此断言原商的极限不存在。

探索关联