极限的定义

极限刻画的是函数在某个输入点附近的趋近行为。它只关心 $x$ 接近 $a$ 时 $f(x)$ 的走向，而不关心 $x=a$ 时函数是否有定义或取值是多少。因此，$f(a)$ 可能与极限值不同，甚至根本不存在。

有限点处的有限极限

表达式

$$\lim_{x \to a} f(x)=L$$

的直观含义是：只要 $x$ 足够接近 $a$（且 $x \neq a$），$f(x)$ 就能任意接近 $L$。

严格定义（$\varepsilon-\delta$ 语言）： 对于任意给定的 $\varepsilon > 0$，都存在一个 $\delta > 0$，使得只要 $x$ 满足

$$0<|x-a|<\delta \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-L|<\varepsilon.$$

这里量词的顺序至关重要：是先给定输出的误差范围 $\varepsilon$，然后我们需要找到一个对应的输入误差范围 $\delta$，保证在这个范围内所有合法的 $x$ 都能满足条件。

定义域与误差证明示例

以 $2$ 附近的 $f(x)=x^2$ 为例，若要求输出与 $4$ 的误差小于 $0.1$，即 $|x^2-4|<0.1$，只要把输入控制在 $|x-2|<0.02$ 内就足够。这里 $\varepsilon=0.1$ 是允许的输出误差，$\delta=0.02$ 是能保证这个要求的输入容差。

为什么这对数管用？先把输出误差分解，再把同样的办法用于任意输出容差，证明 $\lim_{x\to2}x^2=4$：

$$|x^2-4|=|x-2||x+2|.$$

先限制 $|x-2|<1$，于是 $1<x<3$，且 $|x+2|<5$。给定任意 $\varepsilon>0$，取 $\delta=\min(1,\varepsilon/5)$。只要 $0<|x-2|<\delta$，就有 $|x^2-4|<5\delta\le\varepsilon$。先给第二个因子找一个上界，就能避免用未知的 $x$ 来选择误差范围。

这里设 $f:D\to\mathbb R$，所有关于 $x$ 的条件都只针对 $x\in D$。$a$ 必须是 $D$ 的聚点：无论多么靠近 $a$，都能找到不同于 $a$ 的定义域内的点。否则，定义中的蕴含关系会对任意 $L$ 空泛成立。单侧极限要求相应一侧有定义域内的点趋近；无穷远处的极限要求定义域沿相应方向无界。

单侧极限

记号

$$\lim_{x\to a^-}f(x)=L \qquad\text{和}\qquad \lim_{x\to a^+}f(x)=L$$

分别表示 $x$ 从左侧（小于 $a$）或右侧（大于 $a$）趋近于 $a$ 时的极限。

在处理跳跃间断点、定义域端点或分段函数的连接处时，区分左右极限是判断极限是否存在的关键。当定义域内的点能从两侧趋近时，双侧极限存在当且仅当左右极限存在且相等。

无穷远处的极限

表达式

$$\lim_{x\to\infty}f(x)=L$$

表示当 $x$ 变得足够大时，$f(x)$ 会趋近于 $L$。

严格定义： 对于任意给定的 $\varepsilon > 0$，都存在一个阈值 $M$，使得只要 $x$ 满足

$$x>M \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-L|<\varepsilon.$$

对于 $x \to -\infty$ 的情况，条件变为：存在 $M$，使得当 $x < -M$ 时，上述不等式成立。

无穷极限

记号

$$\lim_{x\to a}f(x)=\infty$$

表示当 $x$ 趋近于 $a$ 时，$f(x)$ 的值会无限增大，超过任何给定的正数界限。

注意：这不是一个有限实数极限，而是描述函数值的无界增长。类似地，$\lim_{x\to a}f(x)=-\infty$ 表示函数值无界减小。

$\lim_{x\to a}f(x)=+\infty$ 的严格条件是：对任意 $B>0$，存在 $\delta>0$，使得 $0<|x-a|<\delta$ 时都有 $f(x)>B$。仅仅在 $a$ 附近无界还不够；所有足够靠近 $a$ 的定义域内的点都必须满足这个不等式。

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