双侧极限与单侧极限

下面的等价关系假定定义域内的点能从两侧趋近 $a$。对于 $\sqrt{x}$ 的端点 $0$，应使用右极限；左侧没有定义域不等于发生跳跃。定义中沿定义域取的极限，不一定是双侧极限。

双侧极限存在且有限，当且仅当左极限和右极限都存在且相等：

$$\lim_{x\to a}f(x)=L \quad\Longleftrightarrow\quad \lim_{x\to a^-}f(x)=L \ \text{且}\ \lim_{x\to a^+}f(x)=L.$$

在处理分段函数的边界点时，这是一个非常实用的判断方法：

1. 取 $x<a$ 时的表达式，计算左极限；
2. 取 $x>a$ 时的表达式，计算右极限；
3. 比较这两个值。

如果左右极限不相等，双侧极限就不存在。例如：

$$f(x)= \begin{cases} 0, & x<0,\\ 1, & x\ge 0 \end{cases}$$

在 $x=0$ 处，左极限是 $0$，右极限是 $1$。因为两者不相等，所以 $\lim_{x\to0}f(x)$ 不存在。

需要注意的是，$f(a)$ 的具体取值是另一回事。即使 $f(a)$ 未定义，或者 $f(a)$ 不等于极限值，双侧极限依然可能存在。极限值等于 $f(a)$ 是函数连续性的要求，而不是极限存在的要求。

极限不存在也可能源于振荡，而不只是两个有限的单侧极限不等。对于 $f(x)=\sin(1/x)$，正数列 $x_n=1/(\pi/2+2\pi n)$ 与 $y_n=1/(3\pi/2+2\pi n)$ 都趋于 $0$，但 $f(x_n)=1$，$f(y_n)=-1$，因此连右极限也不存在。相比之下，$1/x^2$ 从两侧都趋于 $+\infty$，而 $1/x$ 从左侧趋于 $-\infty$、从右侧趋于 $+\infty$。

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