极限运算法则

已知：

\lim_{x\to a}f(x)=L \qquad\text{且}\qquad \lim_{x\to a}g(x)=M.

对于常数 $c$ 和正整数 $n$ ，基本运算法则如下：

\begin{aligned} \lim_{x\to a}c &= c,\\ \lim_{x\to a}x &= a,\\ \lim_{x\to a}\bigl(f(x)\pm g(x)\bigr) &= L\pm M,\\ \lim_{x\to a}c f(x) &= cL,\\ \lim_{x\to a}f(x)g(x) &= LM,\\ \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} &= \frac{L}{M}\quad(M\ne0),\\ \lim_{x\to a}f(x)^n &= L^n. \end{aligned}

对于 $n$ 次根式：

\lim_{x\to a}\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{L}

前提是根式在 $a$ 的邻域内有定义。如果是偶次根，还需满足被开方数非负的定义域限制。

核心要点： 这些法则仅用于组合已知存在的极限。它们不能用来证明某个部分极限是否存在。遇到 $0/0$ 等不定式时，说明不能直接代入，需要对表达式进行变形或进一步分析。

推论与应用

多项式：处处连续，求有限极限时可直接代入。
有理函数：在分母不为零的点连续，可直接代入求极限。
夹逼定理（Squeeze Theorem）：若在 $a$ 附近有 $g(x)\le f(x)\le h(x)$ ，且 $\lim_{x\to a}g(x) = \lim_{x\to a}h(x) = L$ ，则 $\lim_{x\to a}f(x)=L$ 。

探索关联