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常用函数导数速查表

使用公式表的条件

导数速查表用于查阅；每条公式都只能用在相应导数存在的地方。

$\ln x$ 与 $\log_a x$ 要求 $x>0$ 。 $a^x$ 要求 $a>0$ ； $\log_a x$ 还要求 $a\ne1$ 。
三角函数一律使用弧度。正切与正割须排除 $\cos x=0$ ；余切与余割须排除 $\sin x=0$ 。
$\sin^{-1}$ 、 $\cos^{-1}$ 、 $\tan^{-1}$ 表示反三角函数的主值，不是倒数。值域依次为 $[-\pi/2,\pi/2]$ 、 $[0,\pi]$ 、 $(-\pi/2,\pi/2)$ 。反正弦与反余弦在 $[-1,1]$ 上有定义，但表中导数要求 $-1<x<1$ 。反正切及其导数对所有实数输入都有定义。
链式法则要求内层函数可导，且其输出落在外层函数可导的范围内。特别地， $\ln(f(x))$ 要求 $f(x)>0$ ；倒数要求 $g(x)\ne0$ 。
对实常数 $n$ ，幂公式在底数为正时成立。整数幂的扩展见法则的适用条件，端点须单独检查。

一个常用推广是 $(\ln|f(x)|)'=f'(x)/f(x)$ ，条件是 $f$ 可导且不为零。例如， $\ln(x^2+1)$ 对所有实数 $x$ 的导数都是 $2x/(x^2+1)$ ；而 $\ln x$ 在负数处没有实数值，即使表达式 $1/x$ 在那里有定义。

基础函数

函数类型	函数表达式	导数
常数	$f(x) = c$	$f'(x) = 0$
线性函数	$f(x) = mx + b$	$f'(x) = m$
二次函数	$f(x) = ax^2 + bx + c$	$f'(x) = 2ax + b$
自然指数	$f(x) = e^x$	$f'(x) = e^x$
自然对数	$f(x) = \ln(x)$	$f'(x) = \frac{1}{x}$
一般指数	$f(x) = a^x$	$f'(x) = a^x \ln(a)$
一般对数	$f(x) = \log_a(x)$	$f'(x) = \frac{1}{x \ln(a)}$
平方项	$\frac{d}{dx} [f(x)]^2$	$2 f(x) f'(x)$
倒数项	$\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{g(x)}\right)$	$-\frac{g'(x)}{[g(x)]^2}$

三角函数

函数类型	函数表达式	导数
正弦	$f(x) = \sin(x)$	$f'(x) = \cos(x)$
余弦	$f(x) = \cos(x)$	$f'(x) = -\sin(x)$
正切	$f(x) = \tan(x)$	$f'(x) = \sec^2(x)$
余切	$f(x) = \cot(x)$	$f'(x) = -\csc^2(x)$
正割	$f(x) = \sec(x)$	$f'(x) = \sec(x)\tan(x)$
余割	$f(x) = \csc(x)$	$f'(x) = -\csc(x)\cot(x)$
反正弦	$f(x) = \sin^{-1}(x)$	$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
反余弦	$f(x) = \cos^{-1}(x)$	$f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
反正切	$f(x) = \tan^{-1}(x)$	$f'(x) = \frac{1}{1+x^2}$

链式法则（复合函数）

复合函数导数公式
$\frac{d}{dx} f(x)^n = n f(x)^{n-1} \cdot f'(x)$
$\frac{d}{dx} e^{f(x)} = e^{f(x)} \cdot f'(x)$
$\frac{d}{dx} \ln(f(x)) = \frac{f'(x)}{f(x)}$
$\frac{d}{dx} \sin(f(x)) = \cos(f(x)) \cdot f'(x)$
$\frac{d}{dx} \cos(f(x)) = -\sin(f(x)) \cdot f'(x)$
$\frac{d}{dx} \tan(f(x)) = \sec^2(f(x)) \cdot f'(x)$
$\frac{d}{dx} \sec(f(x)) = \sec(f(x)) \tan(f(x)) \cdot f'(x)$
$\frac{d}{dx} \tan^{-1}(f(x)) = \frac{f'(x)}{1 + f(x)^2}$

参考资料

探索关联

引用了 (1)

基础求导法则与公式

被引用 (2)

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