自动微分

PyTorch Autograd 深度解析 - YouTube 2.5 自动微分 —《动手学深度学习》

JAX 中的自动微分

JAX 是一个面向高性能数值计算和科学计算的库，充分利用现代硬件（如 GPU/TPU）的算力。它在 NumPy 的基础上扩展了自动微分（Autodiff）能力，能够高效计算梯度。梯度是优化问题和机器学习算法的核心，JAX 通过函数变换（Transformations）机制来实现这一目标。

自动微分（Autodiff）

自动微分沿程序的计算过程，把基本运算的求导规则用链式法则组合起来。它不必像符号微分那样构造化简后的公式，也不通过附近函数值的差分估计导数。它求的是所实现计算的导数，仍受浮点误差与可用求导规则限制。不连续点、整数决策、不支持的运算或不存在的导数，不会因为使用自动微分就变得可导。高阶导数需要足够的可微性，计算成本也可能很高。学习雅可比积前，可先复习导数和线性映射的矩阵形状。

前向与反向模式

对 $f:\mathbb R^n\to\mathbb R^m$，雅可比矩阵 $J$ 的元素为 $J_{ij}=\partial f_i/\partial x_j$，形状是 $m\times n$。前向模式将输入方向 $v\in\mathbb R^n$ 传播为 $Jv\in\mathbb R^m$；反向模式将输出权重 $u\in\mathbb R^m$ 传播为 $J^Tu\in\mathbb R^n$。以基向量为种子可得到单列或单行，但种子不限于某一个坐标方向。

转置来自多元链式法则，不是 JAX 特有的约定。设 $z=f(x)$，$L(z)$ 是标量损失。每个输入都可能通过多个输出影响损失，因此

$$\frac{\partial L}{\partial x_j}=\sum_i\frac{\partial L}{\partial z_i}\frac{\partial z_i}{\partial x_j}, \qquad \nabla_xL=J^T\nabla_zL.$$

反向模式中的 $u$ 就是 $\nabla_zL$。求和也解释了为什么不同路径传回的贡献必须累加：这是把标量链式法则应用到所有中间坐标。

因此，完整雅可比矩阵大致需要 $n$ 次前向传播或 $m$ 次反向传播。前向模式适合输入少、输出多的情况；反向模式适合输入多、输出少的情况，尤其是标量损失。反向传播以反向模式为基础，但反向计算时需要保留或重算中间值。这是计算量与内存之间的权衡，不是普遍的速度排名。

微分图（Differentiation Graph）

微分图是函数计算过程的图形化表示。它记录了从输入到输出的所有运算步骤、中间变量及其依赖关系。

自动微分算法利用这张图来高效地应用链式法则：

• 在前向模式中，沿着图的方向传播导数。
• 在反向模式中，逆着图的方向累积梯度。

JAX 如何实现 Autodiff

JAX 同时支持前向和反向模式，能够高效计算梯度（Gradient）、雅可比矩阵（Jacobian）和海森矩阵（Hessian）。主要接口如下：

• jax.grad：

  • 计算函数的梯度。
  • 底层使用反向模式。
  • 适用于输入维度远大于输出维度的场景（如神经网络损失函数）。

• jax.jvp (Jacobian-Vector Product)：

  • 计算雅可比向量积。
  • 这是前向模式的基本操作。
  • 用于计算 $J \cdot v$，其中 $J$ 是雅可比矩阵，$v$ 是向量。

• jax.vjp (Vector-Jacobian Product)：

  • 计算向量雅可比积。
  • 这是反向模式的基本操作。
  • 用于计算 $v^T \cdot J$，其中 $v$ 是向量，$J$ 是雅可比矩阵。

使用示例

下面展示如何使用 JAX 计算函数的梯度：

import jax
import jax.numpy as jnp

def f(x):
    return jnp.sin(x) * jnp.cos(x)

# 获取 f 的梯度函数
grad_f = jax.grad(f)

# 计算 f 在 x = 1.0 处的梯度
print(grad_f(1.0))

上述代码计算了函数 $f(x) = \sin(x) \cos(x)$ 在 $x = 1.0$ 处的导数。

手算一个共享输入的计算过程

令 $a=xy$、$b=\sin x$、$f=a+b$。在 $(x,y)=(2,3)$ 处，前向种子 $(\dot x,\dot y)=(1,0)$ 给出 $\dot a=y\dot x+x\dot y=3$、$\dot b=\cos2$，因此 $\dot f=3+\cos2\approx2.583853$，即 $J(1,0)^T$。

反向模式从 $\bar f=1$ 开始。加法传回 $\bar a=\bar b=1$；乘法向 $\bar x$ 贡献 $y\bar a=3$，向 $\bar y$ 贡献 $x\bar a=2$；正弦再向 $\bar x$ 贡献 $\cos2\,\bar b$。同一输入收到的贡献必须相加，所以 $\nabla f=(3+\cos2,2)$。$x$ 通过两条路径影响输出，因此覆盖已有梯度会丢失一部分结果。

前面的 JAX 算例应得到 $\cos^2(1)-\sin^2(1)=\cos2\approx-0.416147$。jax.grad 要求标量输出（形状为 ()，而非长度为一的向量），通常对浮点输入求导。向量输出则应按所需的积或矩阵选择 jax.jvp、jax.vjp、jax.jacfwd 或 jax.jacrev。对于 $|x|$ 在零点这样的折点，实现采用的规则不能证明经典导数存在。

参考资料

• The Autodiff Cookbook — JAX 官方文档
• Automatic Differentiation 视频课程

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