微积分基础

这条学习路径的核心逻辑很简单：先在局部描述变化，再将其累积为全局结果。

1. 极限：确立局部行为与连续性。
2. 导数：量化瞬时变化率。
3. 积分：累积数量，并与导数建立联系。
4. 梯度与梯度下降：将变化概念推广至多变量场景。
5. 优化：利用导数指导决策。
6. 神经网络中的优化：将上述机制应用于学习系统。

开始前需要什么？

先熟悉方程变形、函数定义域与图像，以及幂、对数和三角函数（三角函数中的角度用弧度）。从单变量微积分入手；进入梯度和多参数问题时，再用到向量与线性代数。

用一个算例串起这些概念

设位置为 $s(t)=t^2$ 米，时间 $t$ 以秒计。差商为：

$$\frac{s(t+h)-s(t)}h=2t+h\quad(h\ne0).$$

令 $h\to0$，得到速度 $s'(t)=2t$ 米每秒。从第 1 秒到第 3 秒，对速度积分得到位移 $\int_1^3 2t\,dt=9-1=8$ 米。这是有符号的位移，不一定是总路程；若运动改变方向，路程应对 $|s'(t)|$ 积分。

微积分基本定理把两种运算联系起来：若 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，则 $F(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ 在区间内部的导数为 $f(x)$；对任意原函数 $G$，有 $\int_a^b f(x)\,dx=G(b)-G(a)$。连续性是这里的充分条件，不意味着所有函数都可导或可积。

优化时，导数为零只提供候选点：$f(x)=x^3$ 满足 $f'(0)=0$，但零点不是极值点。在闭区间上，还应检查端点和不可导的点。

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