Calcul des limites

Utilisez la substitution directe lorsque la continuité au point considéré est connue, comme dans les calculs de limites de Paul. Une valeur définie ne suffit pas : une fonction égale à $0$ hors de $a$ et à $1$ en $a$ a pour limite $0$, pas $1$. Face à une forme indéterminée, transformez l'expression sans la modifier dans un voisinage épointé.

Factoriser et simplifier

Pour $x\ne3$,

$$\frac{x^2-9}{x-3}=x+3,$$

donc

$$\lim_{x\to3}\frac{x^2-9}{x-3}=6.$$

La simplification est valide, car une limite exige seulement l'égalité dans un voisinage épointé ; l'expression d'origine peut rester indéfinie en $x=3$.

Rationaliser un radical

Multiplier par le conjugué fait apparaître un facteur simplifiable :

$$\begin{aligned} \lim_{x\to9}\frac{3-\sqrt{x}}{x-9} &=\lim_{x\to9}\frac{(3-\sqrt{x})(3+\sqrt{x})}{(x-9)(3+\sqrt{x})}\\ &=\lim_{x\to9}\frac{-1}{3+\sqrt{x}}\\ &=-\frac16. \end{aligned}$$

Comparer les termes dominants à l'infini

Divisez une fonction rationnelle par la plus grande puissance de son dénominateur :

$$\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2-4}{5x-2x^2} =\lim_{x\to\infty}\frac{3-4/x^2}{5/x-2} =-\frac32.$$

Vérifier les deux côtés d'une frontière

Pour une fonction par morceaux, calculez les limites à gauche et à droite avec les formules actives de chaque côté. La limite bilatérale n'existe que si les deux valeurs coïncident.

Réunir un quotient de différences

En supposant $x\ne0$,

$$\begin{aligned} \lim_{h\to0}\frac{1}{h} \left(\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}\right) &=\lim_{h\to0}\frac{-1}{x(x+h)}\\ &=-\frac{1}{x^2}. \end{aligned}$$

Le facteur $1/h$ est essentiel ; sans lui, la différence d'origine tend vers zéro.

Pour un exemple du théorème des gendarmes, $-x^2\le x^2\sin(1/x)\le x^2$ pour $x\ne0$ : la limite en $0$ vaut donc $0$ malgré le facteur oscillant. Un tableau numérique peut suggérer le résultat, mais ne le démontre pas.

N'utiliser la règle de l'Hôpital qu'après avoir vérifié ses hypothèses

Pour un quotient de forme indéterminée $0/0$ ou $\infty/\infty$, la règle de l'Hôpital peut remplacer le quotient par $f'(x)/g'(x)$ si les fonctions sont dérivables dans un intervalle épointé approprié, si $g'(x)\ne0$ sur cet intervalle et si le quotient des dérivées possède une limite finie ou infinie. Elle n'autorise pas en général à dériver séparément numérateur et dénominateur.

La règle de l'Hôpital vient après les règles de dérivation. Elle ne doit pas servir à démontrer une limite fondamentale si la formule de dérivée utilisée dépend elle-même de cette limite. L'absence de limite du quotient des dérivées ne prouve pas non plus celle du quotient initial.

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