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导数与极值分析

下面的符号判据针对相应导数存在的整个区间，而不是几个抽样点。使用二阶导数判别法时，假设 cc 为内点，且 ff 在其附近二阶连续可导。曲线分析讲解区分了极值点与拐点。

导数基础​

  • 一阶导数 f′(x)f'(x)：刻画函数 f(x)f(x) 在点 xx 处的瞬时变化率（即切线斜率）。
  • 二阶导数 f′′(x)f''(x)：刻画斜率的变化；在二阶导数存在的区间上，其符号决定凹凸性。
  • 高阶导数：nn 阶导数 f(n)(x)f^{(n)}(x) 定义为 (n−1)(n-1) 阶导数的导数。

临界点与极值判定​

  • 临界点定义：若 cc 在 ff 的定义域内，且满足 f′(c)=0f'(c)=0 或 f′(c)f'(c) 不存在，则 cc 为临界数，对应的点 (c,f(c))(c, f(c)) 为临界点。
  • 二阶导数判别法：
    • 若 f′(c)=0f'(c)=0 且 f′′(c)>0f''(c)>0，则 ff 在 cc 处取局部极小值。
    • 若 f′(c)=0f'(c)=0 且 f′′(c)<0f''(c)<0，则 ff 在 cc 处取局部极大值。
    • 若 f′′(c)=0f''(c)=0，该判别法失效，需进一步分析。
  • 拐点（Inflection Point）：函数凹凸性发生改变的点。单凭 f′′(c)=0f''(c)=0 不能判断拐点；拐点处的二阶导数也可能不存在。

牛顿迭代法​

  • 利用切线近似求零点的迭代算法，但不保证收敛。

  • 迭代公式：

    xn+1=xn−f(xn)f′(xn)x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}

隐函数求导​

  • 适用于无法显式解出 yy 的方程 F(x,y)=0F(x, y) = 0。
  • 利用链式法则对等式两边同时关于 xx 求导，从而解出 dydx\frac{dy}{dx}。

单调性区间​

  • 单调递增：若在某区间内 f′(x)>0f'(x) > 0，则 f(x)f(x) 在该区间单调递增。
  • 单调递减：若在某区间内 f′(x)<0f'(x) < 0，则 f(x)f(x) 在该区间单调递减。

凹凸性与拐点判定​

  • 凹向上（Concave Up）：若区间内恒有 f′′(x)>0f''(x) > 0，图像呈“碗状”向上弯曲。
  • 凹向下（Concave Down）：若区间内恒有 f′′(x)<0f''(x) < 0，图像呈“拱形”向下弯曲。
  • 拐点判定：若 ff 在 cc 处连续，且 f′′f'' 在紧邻 cc 的左右区间上异号，则 (c,f(c))(c,f(c)) 为拐点。

完整示例：如何分类候选点​

函数在可导的内点取得局部极值时，必有 f′(c)=0f'(c)=0（费马定理）。反过来不成立：x3x^3 在 00 处导数为零，却一直递增。对连续函数，若一阶导数由正变负，则该点为局部极大值点；由负变正则为局部极小值点。不变号时，这个判据不给出极值。函数须在相邻区间内可导。

考察 [−2,2][-2,2] 上的 f(x)=x3−3xf(x)=x^3-3x：

f′(x)=3(x−1)(x+1),f′′(x)=6x.f'(x)=3(x-1)(x+1),\qquad f''(x)=6x.

内点中的临界数为 −1,1-1,1。导数在 (−2,−1)(-2,-1) 上为正、在 (−1,1)(-1,1) 上为负、在 (1,2)(1,2) 上为正。因此 f(−1)=2f(-1)=2 是局部极大值，f(1)=−2f(1)=-2 是局部极小值。求闭区间上的最大值与最小值时，还要比较端点：f(−2)=−2f(-2)=-2，f(2)=2f(2)=2。最小值 −2-2 在 −2-2 和 11 处取得，最大值 22 在 −1-1 和 22 处取得。闭有界区间上的连续函数一定能取得最大值和最小值，但计算时仍须找全候选点。

二阶导数在 00 两侧变号，且图像在此连续，所以 (0,0)(0,0) 是拐点。对比 x4x^4：其二阶导数在 00 处为零，凹凸性却不变。x1/3x^{1/3} 在 00 处凹凸性改变，但二阶导数不存在。1/x1/x 的二阶导数在零点两侧变号，但零点不在图像上，所以没有拐点。另外，f′′f'' 本身不是几何曲率；对二阶可导的函数图像，无符号曲率为 ∣f′′∣/(1+(f′)2)3/2|f''|/(1+(f')^2)^{3/2}。

隐函数计算与牛顿迭代​

对 x2+y2=1x^2+y^2=1，沿可导分支 y=y(x)y=y(x) 求导得到 2x+2yy′=02x+2yy'=0，所以 y≠0y\ne0 时 y′=−x/yy'=-x/y；在 (0,1)(0,1) 处斜率为 00。在 (±1,0)(\pm1,0) 处不能这样相除，此时圆的切线竖直。更一般地，若方程 F(x,y)=0F(x,y)=0 中 FF 连续可微，且某个解处 Fy≠0F_y\ne0，则该点附近存在可导分支，满足 y′=−Fx/Fyy'=-F_x/F_y。

牛顿法令切线预测值为零：0=f(xn)+f′(xn)(xn+1−xn)0=f(x_n)+f'(x_n)(x_{n+1}-x_n)。只有 f′(xn)≠0f'(x_n)\ne0 时，才能得到前面的迭代公式。对 f(x)=x2−2f(x)=x^2-2，从 x0=1x_0=1 开始：

x1=32,x2=1712,x3=577408≈1.414215686.x_1=\frac32,\qquad x_2=\frac{17}{12},\qquad x_3=\frac{577}{408}\approx1.414215686.

若函数在单根（导数不为零的根）附近二阶连续可导，从足够近的位置出发可保证局部收敛。远处的初值未必有效：对 f(x)=x3−2x+2f(x)=x^3-2x+2，从 00 开始会陷入 0→1→00\to1\to0 的循环。实际计算应设迭代上限，遇到无定义的值、零导数或过小的导数时停止或另作处理，并同时检查步长与残差 ∣f(xn)∣|f(x_n)|。仅有步长很小不能证明找到了根。

参考资料​

探索关联

被引用 (2)

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