Limites bilatérales et unilatérales

L'équivalence ci-dessous suppose que des points du domaine approchent $a$ des deux côtés. À une extrémité, comme $0$ pour $\sqrt{x}$, on utilise la limite à droite ; l'absence de domaine à gauche n'est pas un saut. Une limite relative au domaine, au sens de la définition, n'est pas nécessairement bilatérale.

Une limite bilatérale finie existe exactement lorsque les deux limites unilatérales existent et coïncident :

$$\lim_{x\to a}f(x)=L \quad\Longleftrightarrow\quad \lim_{x\to a^-}f(x)=L \ \text{and}\ \lim_{x\to a^+}f(x)=L.$$

On obtient ainsi un test fiable à la frontière d'une fonction par morceaux :

1. évaluer l'expression utilisée pour $x<a$ afin d'obtenir la limite à gauche ;
2. évaluer l'expression utilisée pour $x>a$ afin d'obtenir la limite à droite ;
3. comparer les résultats.

Si les deux valeurs diffèrent, la limite bilatérale n'existe pas. Par exemple,

$$f(x)= \begin{cases} 0, & x<0,\\ 1, & x\ge 0 \end{cases}$$

a pour limite à gauche $0$ et pour limite à droite $1$ à l'origine ; $\lim_{x\to0}f(x)$ n'existe donc pas.

La valeur $f(a)$ est une question distincte. Une limite bilatérale peut exister si $f(a)$ est absente ou différente de la limite. L'égalité avec $f(a)$ est requise pour la continuité, pas pour la limite elle-même.

L'absence de limite peut aussi provenir d'oscillations. Pour $f(x)=\sin(1/x)$, les suites positives $x_n=1/(\pi/2+2\pi n)$ et $y_n=1/(3\pi/2+2\pi n)$ tendent toutes deux vers $0$, mais $f(x_n)=1$ et $f(y_n)=-1$. Même la limite à droite n'existe pas. En revanche, $1/x^2\to+\infty$ des deux côtés, tandis que $1/x$ tend vers $-\infty$ à gauche et $+\infty$ à droite.

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