Définition des limites

Une limite décrit la valeur dont une fonction s'approche au voisinage d'une entrée. Elle dépend du comportement voisin : la valeur de la fonction au point peut donc être différente ou ne pas exister.

Limite finie en un point fini

L'égalité

$$\lim_{x \to a} f(x)=L$$

signifie que $f(x)$ peut être rendu arbitrairement proche de $L$ en prenant $x$ suffisamment proche de $a$, tout en imposant $x\ne a$.

Formellement, pour tout $\varepsilon>0$, il existe $\delta>0$ tel que

$$0<|x-a|<\delta \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-L|<\varepsilon.$$

L'ordre des quantificateurs importe : après avoir choisi la tolérance de sortie $\varepsilon$, il faut trouver une tolérance d'entrée $\delta$ valable pour tout $x$ admissible.

Domaine et preuve avec une tolérance explicite

Pour $f(x)=x^2$ près de $2$, supposons que l'erreur par rapport à $4$ doive être inférieure à $0.1$ : $|x^2-4|<0.1$. Il suffit de garder l'entrée à moins de $0.02$ de $2$, soit $|x-2|<0.02$. Ici, $\varepsilon=0.1$ est l'erreur admise en sortie et $\delta=0.02$ une tolérance d'entrée qui la garantit.

Pour comprendre ce choix et démontrer $\lim_{x\to2}x^2=4$ pour toute tolérance de sortie, factorisons l'erreur :

$$|x^2-4|=|x-2||x+2|.$$

Imposons d'abord $|x-2|<1$ : alors $1<x<3$ et $|x+2|<5$. Pour tout $\varepsilon>0$, choisissons $\delta=\min(1,\varepsilon/5)$. Ainsi, $0<|x-2|<\delta$ entraîne $|x^2-4|<5\delta\le\varepsilon$. Cette borne préalable élimine l'inconnue $x$ du choix de la tolérance.

On considère $f:D\to\mathbb R$ ; toutes les conditions sur $x$ concernent uniquement $x\in D$. Le point $a$ doit être un point d'accumulation de $D$ : des points du domaine distincts de $a$ doivent s'en approcher arbitrairement. Sinon, l'implication serait vraie par défaut pour tout $L$. Pour une limite unilatérale, ces points doivent approcher du côté considéré ; à l'infini, le domaine doit être non borné dans la direction considérée.

Limites unilatérales

Les notations

$$\lim_{x\to a^-}f(x)=L \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to a^+}f(x)=L$$

restreignent respectivement $x$ aux valeurs inférieures ou supérieures à $a$. Cette distinction est essentielle aux sauts, aux extrémités et aux frontières des fonctions par morceaux. Lorsque des points du domaine approchent des deux côtés, la limite bilatérale existe si et seulement si les deux limites unilatérales existent et sont égales.

Limites à l'infini

L'égalité

$$\lim_{x\to\infty}f(x)=L$$

signifie que $f(x)$ s'approche de $L$ lorsque $x$ devient arbitrairement grand. Formellement, pour tout $\varepsilon>0$, il existe un seuil $M$ tel que

$$x>M \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-L|<\varepsilon.$$

Pour $x\to-\infty$, la condition correspondante s'applique lorsque $x<-M$.

Limites infinies

La notation

$$\lim_{x\to a}f(x)=\infty$$

signifie que $f(x)$ finit par dépasser toute borne positive lorsque $x$ s'approche de $a$. Elle décrit une croissance non bornée, et non une limite réelle finie. De même, $-\infty$ décrit des valeurs qui décroissent sans borne.

Pour $\lim_{x\to a}f(x)=+\infty$, la condition précise est : pour tout $B>0$, il existe $\delta>0$ tel que $0<|x-a|<\delta$ entraîne $f(x)>B$. Être simplement non bornée près de $a$ ne suffit pas : l'inégalité doit être vraie en tout point du domaine suffisamment proche.

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