连续性

函数 $f$ 在 $a$ 处连续，需要满足：

1. $f(a)$ 有定义；
2. $\lim_{x\to a}f(x)$ 存在；
3. $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$。

因此，连续性把两类信息联系起来：函数在该点附近的行为，以及函数在该点的指定值。

单侧连续与区间连续

在端点处，只需考虑定义域包含的一侧。函数在 $[a,b]$ 上连续，是指它在 $(a,b)$ 上连续， 在 $a$ 处右连续，并在 $b$ 处左连续：

$$\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a), \qquad \lim_{x\to b^-}f(x)=f(b).$$

常见的不连续包括可去间断点、两个单侧极限不等造成的跳跃， 以及竖直渐近线附近的无界行为。

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对照空心点、实心点和两侧趋近的高度：(a) 只需改正该点的函数值，就能恢复连续；(b) 左右极限不同；(c) 函数值无界增大或减小。后两种情况都无法只靠修改 f(a) 修复。 可在 OpenStax 免费阅读原书。

Gilbert Strang & Edwin Herman, OpenStax, Calculus Volume 1, Figure 2.37. · CC BY-NC-SA 4.0

由连续函数构造的函数

多项式在 $\mathbb{R}$ 上连续。有理函数在分母不为零处连续。 指数、对数、三角和根式函数分别在各自的定义域上连续。

连续函数的和、积以及有定义的商仍然连续。如果 $g$ 在 $a$ 处连续， 且 $f$ 在 $g(a)$ 处连续，那么

$$(f\circ g)(x)=f(g(x))$$

在 $a$ 处连续。在这些连续性条件下，可以把极限移入 $f$：

$$\lim_{x\to a}f(g(x)) =f\left(\lim_{x\to a}g(x)\right).$$

介值定理

如果 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，且 $N$ 位于 $f(a)$ 与 $f(b)$ 之间， 那么至少存在一个 $c\in[a,b]$，使得 $f(c)=N$。

该定理只保证存在性，并不保证唯一性，也不给出 $c$ 的公式。 特别地，如果 $f(a)$ 与 $f(b)$ 异号，那么 $[a,b]$ 内至少存在一个根。

补上空点与定位零点

设 $x\ne1$ 时 $f(x)=(x^2-1)/(x-1)$，并令 $f(1)=c$。在 $1$ 附近约分得到 $f(x)=x+1$，所以极限是 $2$。只有取 $c=2$ 才能使函数在 $1$ 处连续。修改一个函数值可以补上可去间断点，却不能消除跳跃。

对 $p(x)=x^3-x-1$，由连续性及 $p(1)=-1$、$p(2)=5$，可知 $(1,2)$ 内有根。二分法每次保留端点函数值异号的半个区间；因为 $p(1.5)=0.875$，第一次保留 $[1,1.5]$。二分 $n$ 次后区间宽度为 $2^{-n}$，中点与某个根的距离不超过 $2^{-n-1}$。连续性不可省略：$1/x$ 在 $-1$ 和 $1$ 处异号，却没有零点，因为它在 $[-1,1]$ 上不连续。

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