常用极限速查

在确认表达式的定义域和趋近方向后，可直接套用以下规律：

表达式	极限值
$\displaystyle\lim_{x\to\infty} e^x$	$\infty$
$\displaystyle\lim_{x\to-\infty} e^x$	$0$
$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\ln x$	$\infty$
$\displaystyle\lim_{x\to0^+}\ln x$	$-\infty$
$\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\frac{b}{x^r}$ ($r>0$，且在定义域内)	$0$
$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}$	$1$
$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x}$	$0$
$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}$	$1$

多项式的端点行为

对于多项式：

$$p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0,$$

最高次项决定其端点行为（End Behavior）：

• 当 $x\to\infty$ 时，极限符号与最高次项系数 $a_n$ 的符号一致。
• 当 $x\to-\infty$ 时，若次数 $n$ 为偶数，符号保持不变；若 $n$ 为奇数，符号反转。

有理函数的极限

对于有理函数 $f(x) = p(x)/q(x)$，通过比较分子分母多项式的次数（Degree）来判断 $x\to\pm\infty$ 时的极限：

次数比较	$x\to\pm\infty$ 时的极限
$\deg p < \deg q$	$0$
$\deg p = \deg q$	最高次项系数之比
$\deg p > \deg q$	取决于最高次幂，通常无界或不存在有限极限

注意：以上仅为快速判断模式，不能替代严谨的极限存在性条件检查。单侧极限行为及定义域限制仍需单独验证。

如何使用这些公式

三角函数的自变量必须用弧度。对常数 $k\ne0$，令 $u=kx$：

$$\lim_{x\to0}\frac{\sin(kx)}{x} =k\lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=k.$$

当 $k=0$ 时，商在 $x\ne0$ 处恒为零。如果改用角度制，基本正弦商的极限是 $\pi/180$，不是 $1$。

讨论多项式时，要求 $a_n\ne0$；趋向无穷还要求 $n\ge1$。常数多项式始终保持其常数值。比较次数时假设 $p,q$ 都不是零多项式；分子恒为零时，商在有定义的地方恒为零。负无穷处的幂函数规律只适用于在负方向任意远处仍有实数定义的幂，例如 $x^{1/2}$ 就不适用。

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