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导数的定义

对 f(x)=x2f(x)=x^2，xx 从 33 变到 44 时，输出从 99 变到 1616，平均变化率是 (16−9)/(4−3)=7(16-9)/(4-3)=7。若从 33 变到 3.13.1，输出就从 99 变到 9.619.61，平均变化率是 (9.61−9)/0.1=6.1(9.61-9)/0.1=6.1。

把非零的输入变化量记为 hh，起点仍取 a=3a=3。用输出变化量除以 hh，得到：

f(3+h)−f(3)h=(3+h)2−9h=6+h(h≠0).\frac{f(3+h)-f(3)}h =\frac{(3+h)^2-9}h=6+h\quad(h\ne0).

这个比值叫作差商，表示两点之间的平均变化率。

输入变化量 hh差商 6+h6+h
1177
0.10.16.16.1
0.010.016.016.01
−0.1-0.15.95.9

无论 hh 从正侧还是负侧趋近零，斜率都趋近 66。h=0h=0 时差商没有定义；求导数要取极限，不能直接把零代入差商。

下图选取平方函数时，P=(3,9)P=(3,9) 固定，Q=(3+h,(3+h)2)Q=(3+h,(3+h)^2) 随 hh 移动；h≠0h\ne0 时，连接两点的直线是割线，其斜率就是差商。

xPQ
曲线割线 PQP 点的切线
P = (3.00, 9.00) · Q = (4.00, 16.00)差商: 7.00割线斜率为 6 + h。Q 从任一侧靠近 P，斜率都趋近 6。

形式定义​

对于函数 y=f(x)y=f(x)，导数是用下列极限定义的瞬时变化率：

f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h,f'(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(x + h) - f(x)}{h},

前提是极限为有限实数。通常的双侧导数要求函数在该点周围的开区间内有定义，而且两侧的差商趋于同一个值。在定义域端点，应明确使用单侧导数。导数的极限定义与例题进一步说明了函数值与导数的区别。

平方函数满足 f′(3)=6f'(3)=6。推广到任意实数 aa，有

f(a+h)−f(a)h=a2+2ah+h2−a2h=2a+h(h≠0),\frac{f(a+h)-f(a)}h =\frac{a^2+2ah+h^2-a^2}h=2a+h\quad(h\ne0),

所以 f′(a)=2af'(a)=2a。约分只在 h≠0h\ne0 时进行，整个过程没有除以零。

从差商到局部线性近似​

切线斜率​

差商是经过 (a,f(a))(a,f(a)) 和 (a+h,f(a+h))(a+h,f(a+h)) 两点的割线斜率。它的有限极限 m=f′(a)m=f'(a)，就是曲线在 (a,f(a))(a,f(a)) 处的切线斜率。

切线方程​

已知斜率和切点 (a,f(a))(a,f(a))，切线方程为

y=f(a)+f′(a)(x−a).y = f(a) + f'(a)(x - a).

对 x2x^2，在 a=3a=3 处有 y=9+6(x−3)y=9+6(x-3)。取 h=0.01h=0.01，切线预测的函数值为 9+6(0.01)=9.069+6(0.01)=9.06，而精确值是 (3.01)2=9.0601(3.01)^2=9.0601，误差为 h2=0.0001h^2=0.0001。

一般地，可导等价于

f(a+h)=f(a)+f′(a)h+r(h),lim⁡h→0r(h)h=0.f(a+h)=f(a)+f'(a)h+r(h),\qquad \lim_{h\to0}\frac{r(h)}h=0.

余项记为 r(h)=o(h)r(h)=o(h)，意思是它相对于 ∣h∣|h| 的大小趋于零。把导数定义中的差商减去 f′(a)f'(a)，就得到这一条件。平方函数在 33 处有 r(h)=h2r(h)=h^2，但仅有可导性，不能保证误差是二次量级，也不能保证远离 aa 时仍准确。

局部斜率不存在的情形​

同一个余项等式还给出 f(a+h)→f(a)f(a+h)\to f(a)，所以可导必连续。反过来不成立：f(x)=∣x∣f(x)=|x| 在 00 处连续，但差商 ∣h∣/h|h|/h 在 h<0h<0 时为 −1-1、在 h>0h>0 时为 11。两侧斜率不同，因此双侧导数不存在。

回到上图，切换到 ∣x∣|x| 在 00 处的情形，再让 hh 分别从两侧趋近零：与 x2x^2 在 33 处不同，两侧割线斜率不会趋向同一个值。两种函数在 h=0h=0 时的差商都没有定义。

另外，f(x)=x3f(x)=\sqrt[3]{x} 在 00 处的差商为 h−2/3→+∞h^{-2/3}\to+\infty；竖直切线不代表存在有限导数。

导数的几何与物理意义​

变化率​

切线斜率 f′(a)f'(a) 表示在 aa 附近，每单位输入变化所对应的瞬时输出变化。局部近似 f(a+h)≈f(a)+f′(a)hf(a+h)\approx f(a)+f'(a)h 把这个变化率用于预测函数值。

运动学解释​

若 f(t)f(t) 描述物体在时刻 tt 的位置，f′(a)f'(a) 就是在 t=at=a 时的瞬时速度。位置以米计、时间以秒计，导数的单位就是米每秒。推广到多个输入时，局部线性项由梯度与位移向量共同表示。

导数的等价记号​

对于 y=f(x)y=f(x)，以下记号都表示对 xx 求导：

  • f′(x)f'(x)
  • y′y'
  • dydx\frac{dy}{dx}
  • ddxf(x)\frac{d}{dx} f(x)
  • Df(x)Df(x)

特定点处的导数记号​

在 x=ax=a 处，写作

f′(a)=dydx∣x=a=ddxf(x)∣x=a=Df(a).f'(a) = \left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=a} = \left. \frac{d}{dx} f(x) \right|_{x=a} = Df(a).

参考资料​

探索关联

引用了 (1)

被引用 (3)

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