基础求导法则与公式

使用这些法则时，各个函数必须在相应求值点可导。商与倒数还要求分母不为零。对于 $g\circ h$ ，要求 $h$ 在 $x$ 处可导、 $g$ 在 $h(x)$ 处可导，并且复合函数在附近有定义。

幂法则中的 $n$ 是常数，不能是 $x$ 的函数。任意实数幂可在 $x>0$ 上使用；正整数幂可扩展到所有实数，负整数幂须排除零。分数幂在 $x=0$ 等边界处应另用定义检查。参见求导公式的推导与例题。

基础求导法则

常数法则：常数的导数为零。
$\frac{d}{dx} c = 0$
常数倍法则：常数乘以函数的导数，等于常数乘以该函数的导数。
$\frac{d}{dx} [c f(x)] = c f'(x)$
幂法则： $x$ 的 $n$ 次方的导数，等于 $n$ 乘以 $x$ 的 $n-1$ 次方。
$\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1}$

复合表达式的导数

和法则

两个函数之和的导数，等于它们各自导数的和。

\frac{d}{dx} [f(x) + g(x)] = f'(x) + g'(x)

差法则

两个函数之差的导数，等于它们各自导数的差。

\frac{d}{dx} [f(x) - g(x)] = f'(x) - g'(x)

乘积法则

两个函数乘积的导数，遵循“前导后不导 + 前不导后导”：

\frac{d}{dx} [f(x) g(x)] = f'(x) g(x) + f(x) g'(x)

商法则

两个函数商的导数，分子是“分母乘分子导数减分子乘分母导数”，分母是“分母的平方”：

\frac{d}{dx} \left( \frac{f(x)}{g(x)} \right) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}

链式法则

形式定义

设 $y = g(u)$ 且 $u = h(x)$ ，则 $y$ 对 $x$ 的导数为：

\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}

拉格朗日记号

使用拉格朗日记号（用 $'$ 表示导数），对于 $y = g(h(x))$ ，链式法则写作：

y'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)

多重复合推广

对于 $F = f \circ g \circ h$ 这样的多重复合函数，链式法则扩展为：这里 $u=h(t)$ 、 $v=g(u)$ 、 $y=f(v)$ ，且 $F(t)=y$ 。

\frac{dF}{dt} = \frac{dy}{dv} \cdot \frac{dv}{du} \cdot \frac{du}{dt}

用拉格朗日记号表示，即：

(f \circ g \circ h)'(t) = f'(g(h(t))) \cdot g'(h(t)) \cdot h'(t)

3Blue1Brown 的链式法则讲解用三条数轴依次表示输入、内层输出和外层输出。沿着两次变化读图，可以看到两个局部缩放倍数为什么要相乘。

特殊导数

平方函数的导数：函数平方的导数，等于 2 倍函数值乘以函数的导数。
$\frac{d}{dx} [f(x)]^2 = 2 f(x) f'(x)$
倒数函数的导数：函数倒数的导数。
$\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{g(x)} \right) = -\frac{g'(x)}{[g(x)]^2}$

乘积法则为什么有两项

设 $P=fg$ ，在分子中加上再减去 $f(x)g(x+h)$ ：

\frac{P(x+h)-P(x)}h =\frac{f(x+h)-f(x)}h\,g(x+h) +f(x)\frac{g(x+h)-g(x)}h.

由于 $g$ 可导必连续，取极限就得到 $P'=f'g+fg'$ ，而不是 $f'g'$ 。例如取 $f(x)=g(x)=x$ ，后者会错误地给出 $1$ ，正确答案是 $2x$ 。

组合使用法则的例子是 $y=x^2\sin(3x)$ 。最外层是乘积，第二个因子内部是复合函数，因此

y'=2x\sin(3x)+x^2\cos(3x)\cdot3.

因子 $3$ 来自内层输入 $3x$ 的导数。链式法则把局部变化率复合起来；莱布尼茨记号便于记忆，并不意味着可以随意约去符号。

增大的矩形分为原面积、两条新增长条和角落的小矩形。 — 在边长和增量均为正的图示中，两条长条的面积分别为 f Δg、g Δf，角落小块为 Δf Δg。把面积增量除以 Δx 后，可导性保证角落那一项趋于零，于是留下乘积法则的两项。上面的极限证明也适用于带符号的函数值和减小的情况。
Peter Keep, Discover Calculus, Figure 2.4.4. · CC BY 4.0

基础求导法则与公式