Limites usuelles

Les motifs suivants sont utiles après avoir vérifié le domaine de l'expression et le sens d'approche.

Expression	Limite
$\displaystyle\lim_{x\to\infty} e^x$	$\infty$
$\displaystyle\lim_{x\to-\infty} e^x$	$0$
$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\ln x$	$\infty$
$\displaystyle\lim_{x\to0^+}\ln x$	$-\infty$
$\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\frac{b}{x^r}$, pour $r>0$ là où l'expression est définie	$0$
$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}$	$1$
$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x}$	$0$
$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}$	$1$

Pour un polynôme

$$p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0,$$

le terme dominant détermine son comportement aux extrémités. Lorsque $x\to\infty$, le signe est celui de $a_n$. Lorsque $x\to-\infty$, un degré pair conserve ce signe et un degré impair l'inverse.

Pour une fonction rationnelle $p(x)/q(x)$, comparez les degrés des polynômes :

Comparaison des degrés	Limite lorsque $x\to\pm\infty$
$\deg p<\deg q$	$0$
$\deg p=\deg q$	rapport des coefficients dominants
$\deg p>\deg q$	analyser les puissances dominantes ; la valeur est généralement non bornée ou n'a pas de limite finie

Ce sont des motifs, non des substituts aux hypothèses. Le comportement unilatéral et les restrictions du domaine restent importants.

Utiliser ces limites

Les arguments trigonométriques doivent être exprimés en radians. Pour une constante $k\ne0$, posons $u=kx$ :

$$\lim_{x\to0}\frac{\sin(kx)}{x} =k\lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=k.$$

Pour $k=0$, le quotient est identiquement nul pour $x\ne0$. Si les angles sont mesurés en degrés, la limite de $\sin x/x$ vaut $\pi/180$, et non $1$.

Pour les polynômes, on suppose $a_n\ne0$ ; une croissance vers l'infini exige $n\ge1$. Un polynôme constant garde sa valeur. La comparaison des degrés suppose $p,q$ non nuls ; un numérateur nul donne zéro partout où le quotient est défini. Le motif des puissances à l'infini négatif ne s'applique que si la puissance réelle est définie arbitrairement loin à gauche, ce qui exclut par exemple $x^{1/2}$.

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