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标准积分技巧

假设 gg 连续可导，ff 在包含 gg 的值域的区间上连续。若 F′=fF'=f，链式法则给出 (F(g(x)))′=f(g(x))g′(x)(F(g(x)))'=f(g(x))g'(x)，这就是换元法的依据。对于定积分，

∫abf(g(x))g′(x) dx=∫g(a)g(b)f(u) du.\int_a^b f(g(x))g'(x)\,dx=\int_{g(a)}^{g(b)}f(u)\,du.

微分和上下限必须一起变换，不能把 uu 的被积函数与 xx 的上下限混用。这个正向公式不要求 gg 一一对应；但若要反解 xx，可能需要分开处理反函数的不同分支。不定积分最后应换回原变量并加上 CC。

下文的三角幂次技巧假设幂为非负整数，且所需因子确实存在：偶数正割幂技巧至少需要两个正割因子；奇数正切幂技巧至少需要一个正割和一个正切因子。计算须限于没有极点的区间，正切、正割示例中要求 cos⁡x≠0\cos x\ne0。

U 换元法​

遇到复合函数积分时，U 换元法是最直接的手段。其核心逻辑基于链式法则的逆运算：

∫f(g(x))⋅g′(x) dx=∫f(u) du\int f(g(x)) \cdot g'(x) \, dx = \int f(u) \, du

这里令 u=g(x)u = g(x)，则 du=g′(x)dxdu = g'(x)dx。该方法同样适用于不定积分。

示例​

计算 ∫125x2cos⁡(x3) dx\int_1^2 5x^2 \cos(x^3) \, dx。 观察被积函数，发现 x3x^3 的导数 3x23x^2 与前面的 5x25x^2 成比例。 令 u=x3u = x^3，则 du=3x2 dxdu = 3x^2 \, dx，即 x2dx=13dux^2 dx = \frac{1}{3} du。 同时更新积分上下限：当 x=1x=1 时 u=1u=1；当 x=2x=2 时 u=8u=8。

积分简化为：

∫1853cos⁡(u) du=[53sin⁡(u)]18=53(sin⁡(8)−sin⁡(1))\int_1^8 \frac{5}{3} \cos(u) \, du = \left[ \frac{5}{3} \sin(u) \right]_1^8 = \frac{5}{3} (\sin(8) - \sin(1))

三角函数的积与商​

乘积型​

处理正弦与余弦乘积的积分时，根据幂次奇偶性选择策略：

  • 正弦幂为奇数：拆出一个 sin⁡(x)\sin(x)，利用 sin⁡2(x)=1−cos⁡2(x)\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x) 将剩余部分转为余弦，最后令 u=cos⁡(x)u = \cos(x)。
  • 余弦幂为奇数：拆出一个 cos⁡(x)\cos(x)，利用 cos⁡2(x)=1−sin⁡2(x)\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x) 将剩余部分转为正弦，最后令 u=sin⁡(x)u = \sin(x)。
  • 两者均为奇数：任选上述一种策略即可。
  • 两者均为偶数：使用倍角或半角公式降幂。

商型（正切与正割）​

处理 tan⁡(x)\tan(x) 与 sec⁡(x)\sec(x) 乘积（或商）的积分时：

  • 正割幂为偶数：保留一个 sec⁡2(x)\sec^2(x) 因子，利用 sec⁡2(x)=1+tan⁡2(x)\sec^2(x)=1+\tan^2(x) 改写剩余部分，令 u=tan⁡(x)u=\tan(x)。
  • 正切幂为奇数：保留一个 sec⁡(x)tan⁡(x)\sec(x)\tan(x) 因子，利用 tan⁡2(x)=sec⁡2(x)−1\tan^2(x)=\sec^2(x)-1 改写剩余部分，令 u=sec⁡(x)u=\sec(x)。
  • 其他组合：可能需要使用其他恒等式或重新拆分被积函数。

乘积示例​

计算 ∫tan⁡3(x)sec⁡5(x) dx\int \tan^3(x) \sec^5(x) \, dx。 正切幂为奇数，采用第二种策略。 令 u=sec⁡(x)u = \sec(x)，则 du=sec⁡(x)tan⁡(x) dxdu = \sec(x)\tan(x) \, dx。 从被积函数中拆出 sec⁡(x)tan⁡(x)\sec(x)\tan(x)，剩余 tan⁡2(x)sec⁡4(x)\tan^2(x)\sec^4(x)。 利用 tan⁡2(x)=sec⁡2(x)−1=u2−1\tan^2(x) = \sec^2(x) - 1 = u^2 - 1，且 sec⁡4(x)=u4\sec^4(x) = u^4。

积分变为：

∫u4(u2−1) du=∫(u6−u4) du\int u^4(u^2 - 1) \, du = \int (u^6 - u^4) \, du

积分后换回 xx：

17sec⁡7(x)−15sec⁡5(x)+C\frac{1}{7} \sec^7(x) - \frac{1}{5} \sec^5(x) + C

商型示例​

计算 ∫sin⁡3(x)cos⁡3(x) dx\int \frac{\sin^3(x)}{\cos^3(x)} \, dx。 这可以看作 tan⁡3(x)\tan^3(x) 的积分，但直接利用三角恒等式更直观。 利用 sin⁡2(x)=1−cos⁡2(x)\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)，拆出一个 sin⁡(x)\sin(x) 用于换元。 令 u=cos⁡(x)u = \cos(x)，则 du=−sin⁡(x) dxdu = -\sin(x) \, dx，即 sin⁡(x)dx=−du\sin(x) dx = -du。

∫sin⁡3(x)cos⁡3(x) dx=∫sin⁡2(x)⋅sin⁡(x)cos⁡3(x) dx=∫(1−cos⁡2(x))sin⁡(x)cos⁡3(x) dx=−∫1−u2u3 du=−∫(u−3−u−1) du\begin{aligned} \int \frac{\sin^3(x)}{\cos^3(x)} \, dx &= \int \frac{\sin^2(x) \cdot \sin(x)}{\cos^3(x)} \, dx \\ &= \int \frac{(1 - \cos^2(x)) \sin(x)}{\cos^3(x)} \, dx \\ &= -\int \frac{1 - u^2}{u^3} \, du \\ &= -\int (u^{-3} - u^{-1}) \, du \end{aligned}

积分并换回 u=cos⁡(x)u=\cos(x)：

12sec⁡2(x)+ln⁡∣cos⁡(x)∣+C\frac{1}{2}\sec^2(x) + \ln|\cos(x)| + C

常用三角公式​

在上述积分变换中，以下公式使用频率最高：

sin⁡(2x)=2sin⁡(x)cos⁡(x)\sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) cos⁡(2x)=1−2sin⁡2(x)\cos(2x) = 1 - 2 \sin^2(x) sin⁡2(x)=12(1−cos⁡(2x))\sin^2(x) = \frac{1}{2}(1 - \cos(2x))

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