Techniques d’intégration usuelles

Supposons $g$ continûment dérivable et $f$ continue sur un intervalle contenant son image. Si $F'=f$, la règle de chaîne donne $(F(g(x)))'=f(g(x))g'(x)$ : c’est la justification de la substitution. Pour une intégrale définie,

$$\int_a^b f(g(x))g'(x)\,dx=\int_{g(a)}^{g(b)}f(u)\,du.$$

Transformer la différentielle et les bornes ensemble ; ne pas mélanger un intégrande en $u$ et des bornes en $x$. Cette formule directe n’exige pas l’injectivité de $g$. En revanche, exprimer $x$ en fonction de $u$ peut nécessiter plusieurs branches inverses. Pour une intégrale indéfinie, revenir à la variable initiale et ajouter $C$.

Les raccourcis trigonométriques ci-dessous supposent des puissances entières non négatives et la présence des facteurs à réserver : au moins deux sécantes pour la puissance paire de sécante ; au moins une sécante et une tangente pour la puissance impaire de tangente. Travailler sans traverser de pôle ($\cos x\ne0$ dans les exemples avec tangente et sécante).

Substitution u

La méthode de substitution u est utile pour les intégrales comportant une fonction composée. Elle suit le principe selon lequel :

$\int f(g(x)) \cdot g'(x) \, dx = \int f(u) \, du$

où $u = g(x)$ et $du = g'(x)dx$. Cette technique s’applique également sans bornes pour les intégrales indéfinies.

Exemple

Pour l’intégrale $\int_1^2 5x^2 \cos(x^3) \, dx$, nous posons $u = x^3$, ce qui nous donne $du = 3x^2 \, dx$. Les bornes sont également modifiées en conséquence selon les valeurs de $u$. L’intégrale se simplifie en :

$\int_1^8 \frac{5}{3} \cos(u) \, du = \left[ \frac{5}{3} \sin(u) \right]_1^8 = \frac{5}{3} (\sin(8) - \sin(1))$

Produits et quotients de fonctions trigonométriques

Pour les produits

Lors de l’intégration de produits de sinus et de cosinus, envisagez les stratégies suivantes selon les puissances de sinus et de cosinus :

• Si la puissance du sinus est impaire, isolez un sinus et convertissez le reste en cosinus à l’aide de $\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)$.
• Si la puissance du cosinus est impaire, isolez un cosinus et convertissez le reste en sinus à l’aide de $\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x)$.
• Si les deux puissances sont impaires, utilisez les stratégies ci-dessus.
• Si les deux puissances sont paires, utilisez les formules d’angle double ou d’angle moitié.

Pour les quotients

Lors de l’intégration de produits de tangente et de sécante, les stratégies sont les suivantes :

• Si la puissance de la sécante est paire, conservez un facteur $\sec^2(x)$, convertissez les puissances paires restantes de sécante avec $\sec^2(x)=1+\tan^2(x)$, et utilisez $u=\tan(x)$.
• Si la puissance de la tangente est impaire, conservez un facteur $\sec(x)\tan(x)$, convertissez les puissances paires restantes de tangente avec $\tan^2(x)=\sec^2(x)-1$, et utilisez $u=\sec(x)$.
• D’autres combinaisons d’exposants peuvent nécessiter des identités ou un réarrangement différent plutôt que l’un de ces raccourcis.

Exemple - Produits

Pour l’intégrale $\int \tan^3(x) \sec^5(x) \, dx$, utilisez $u = \sec(x)$, $du = \sec(x)\tan(x) \, dx$. Cela conduit à :

$\int u^4(u^2 - 1) \, du = \int (u^6 - u^4) \, du$

Après intégration, revenez à $x$ :

$\frac{1}{7} \sec^7(x) - \frac{1}{5} \sec^5(x) + C$

Exemple - Quotients

Pour l’intégrale $\int \frac{\sin^3(x)}{\cos^3(x)} \, dx$, utilisez l’identité $\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)$ et la substitution $u = \cos(x)$ :

Puisque $du=-\sin(x)\,dx$,

$$\int \frac{(1 - \cos^2(x))\sin(x)}{\cos^3(x)} \, dx = -\int \left(u^{-3}-u^{-1}\right)\,du.$$

Après intégration et substitution de $u=\cos(x)$ :

$\frac{1}{2}\sec^2(x) + \ln|\cos(x)| + C$

Formules trigonométriques

Les formules trigonométriques utiles dans ces intégrations comprennent :

$\sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x)$ $\cos(2x) = 1 - 2 \sin^2(x)$ $\sin^2(x) = \frac{1}{2}(1 - \cos(2x))$

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