微积分基本定理

本页统一假设 $f$ 在所讨论的闭区间上连续。第一部分的通常导数指区间内部的导数，端点使用单侧导数。第二部分要求 $F$ 在 $[a,b]$ 上连续，并在 $(a,b)$ 上满足 $F'=f$。这些充分条件排除了跨越极点却直接相减端点值的做法。对于变上下限公式，$u,v$ 必须可导，取值须留在 $f$ 连续的区间内；被积函数只依赖 $t$，不另外依赖 $x$。

第一部分

• 连续性： 若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则积分上限函数 $g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续。

$$g(x) = \int_a^x f(t) \, dt$$

• 求导： $g(x)$ 对 $x$ 的导数即为被积函数 $f(x)$。

$$g'(x) = \frac{d}{dx} \int_a^x f(t) \, dt = f(x)$$

第一部分变体

当积分上下限为变量函数时，求导需应用链式法则：

1. 上限为 $x$ 的函数：

$$\frac{d}{dx} \int_a^{u(x)} f(t) \, dt = u'(x) f(u(x))$$

2. 下限为 $x$ 的函数：

$$\frac{d}{dx} \int_{u(x)}^b f(t) \, dt = -u'(x) f(u(x))$$

3. 上下限均为 $x$ 的函数：

$$\frac{d}{dx} \int_{u(x)}^{v(x)} f(t) \, dt = v'(x) f(v(x)) - u'(x) f(u(x))$$

第二部分

• 原函数： 若 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数（即 $F'(x) = f(x)$），则 $f$ 在 $[a, b]$ 上的定积分等于 $F$ 在区间端点的函数值之差。

$$\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)$$

为什么求导能还原被积函数

由区间可加性，

$$\frac{g(x+h)-g(x)}h=\frac1h\int_x^{x+h}f(t)\,dt.$$

右侧是 $f$ 在不断缩小的区间上的平均值。$f$ 在 $x$ 处连续，便保证它趋于 $f(x)$，所以 $g'=f$。其他原函数 $F$ 与 $g$ 只差一个常数，因而 $F(b)-F(a)=g(b)-g(a)=\int_a^bf$。这就在所给条件下证明了第二部分。

例如，$\int_0^2 3x^2\,dx=[x^3]_0^2=8$。变上下限的例子是

$$\frac{d}{dx}\int_x^{x^2}e^{-t^2}\,dt =2x e^{-x^4}-e^{-x^2}.$$

后一个计算不需要初等原函数。连续性不能随意省略：若 $t<0$ 时 $f(t)=0$，$t\ge0$ 时 $f(t)=1$，则零点附近 $\int_{-1}^x f(t)\,dt=\max(0,x)$，它连续，却在跳跃点不可导。

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