积分的定义

本页讨论实变量函数的黎曼积分。定积分是一个数，不定积分是一族函数。两者虽使用相近的符号，回答的问题却不同。

积分学

定积分

• 核心概念： 定积分累加的是区间 [a, b] 上的“高度乘宽度”。先把区间分成小段，每段选一个点，用该点的函数值乘以这一段的宽度，再把结果相加。当最宽一段的宽度趋于零时，如果无论怎样选点，和都趋于同一个值，这个值就是定积分。横轴下方的部分计为负值。

• 数学定义：

  $$\int_{a}^{b} f(x) \, dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \Delta x$$

  这里 $\Delta x$ 代表子区间的宽度，$x_i^*$ 是各子区间内的采样点。假设 $f(x)$ 在 [a, b] 上连续，即可保证此极限存在。

原函数

• 核心概念： 若函数 $F(x)$ 的导数恰好是 $f(x)$，则称 $F(x)$ 为 $f(x)$ 的原函数。
• 关系： 即满足 $F'(x) = f(x)$。

不定积分

• 核心概念： 不定积分表示的是 $f(x)$ 的所有原函数构成的函数族。

• 一般形式：

  $$\int f(x) \, dx = F(x) + C$$

  其中 $C$ 为积分常数，用于涵盖 $f(x)$ 的所有可能原函数。

累加的是什么

等分时，$x_i=a+i(b-a)/n$、$\Delta x=(b-a)/n$，采样点满足 $x_i^*\in[x_{i-1},x_i]$。每一项都是高度乘宽度，不是单独累加函数值。极限必须与采样点的选择无关。一般的黎曼定义也允许不等分，此时要求最大子区间宽度趋于零。连续是充分条件，不是必要条件：只有有限个跳跃点的有界阶梯函数也可积。

对 $[0,1]$ 上的 $f(x)=x$，取右端点可得

$$\sum_{i=1}^n\frac{i}{n}\frac1n=\frac{n+1}{2n}\longrightarrow\frac12.$$

不必先找原函数，这个极限已经定义了定积分。相对地，$\int x\,dx=x^2/2+C$ 可通过求导验证。在一个区间上，任意两个原函数的差的导数为零，因此只差一个常数。若定义域不连通，例如 $1/x$ 的定义域 $x\ne0$，各连通部分可以取不同的常数。

横轴下方的面积计为负值：$\int_{-1}^1x\,dx=0$，但几何面积为 $\int_{-1}^1|x|\,dx=1$。速度的积分是位移，速率的积分才是路程。积分的单位是 $f$ 的单位乘以 $x$ 的单位。

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