分部积分

若 $u,v$ 在 $[a,b]$ 上连续可导，对 $(uv)'=u'v+uv'$ 积分并移项，得到

$$\int_a^b u(x)v'(x)\,dx=[u(x)v(x)]_a^b-\int_a^b v(x)u'(x)\,dx.$$

选择 $u$ 时，希望求导能使它简化；选择 $dv$ 时，希望容易找到原函数。新的积分应比原式容易处理，公式本身不保证计算一定前进。第一个例子中，对 $x$ 求导消去了多项式因子；对数例子则先把被积函数看成 $\ln x\cdot1$。

下文二次根式换元取 $a,b>0$，去掉绝对值前须确定角度分支。正弦和正切换元可取 $-\pi/2<\theta<\pi/2$。正割换元在 $x>a/b$ 上可取 $0<\theta<\pi/2$，负数分支另行处理。正弦换元示例的实数定义域为 $0<|x|<2/3$，取 $\theta=\arcsin(3x/2)$ 即保证 $\cos\theta>0$。负 $x$ 时，余切关系仍可由 $\cot\theta=\cos\theta/\sin\theta$ 得到，而不是把三角形边长取成负数。

部分分式分解前，若分子次数不低于分母，先做多项式除法。分母在实数范围内分解，表中的二次因式须不可约（$b^2-4ac<0$）。重因式必须列出直到其重数为止的各次幂。有理函数示例的结果分别适用于 $x<1$ 和 $x>1$。

分部积分

分部积分源自求导的乘积法则：

$$\int u dv = uv - \int v du$$

$u$ 和 $dv$ 的选择至关重要。分别对 $u$ 求导、对 $dv$ 积分即可得到 $du$ 和 $v$。

示例一

$\int x e^{-x} \, dx$

令 $u=x$，则 $du=dx$；选择 $dv=e^{-x}dx$，则 $v=-e^{-x}$。由分部积分公式：

$$\int x e^{-x} \, dx = -x e^{-x} - \int -e^{-x} \, dx = -x e^{-x} - e^{-x} + C = -(x+1)e^{-x}+C$$

其中 $C$ 是积分常数。

示例二

$\int_{3}^{5} \ln(x) \, dx$

令 $u=\ln(x)$，则 $du=\frac{1}{x}dx$；选择 $dv=dx$，则 $v=x$：

$$\int_{3}^{5} \ln(x) \, dx = x\ln(x) \bigg|_{3}^{5} - \int_{3}^{5} x\frac{1}{x} \, dx$$

化简并计算端点：

$$\int_{3}^{5} \ln(x) \, dx = 5\ln(5) - 3\ln(3) - (5 - 3) = 5\ln(5) - 3\ln(3) - 2$$

积分中的三角换元

基于二次型的换元

情形 1：$\sqrt{a^2-b^2x^2}$

• 换元： $x=\frac{a}{b}\sin(\theta)$
• 恒等式： $\cos^2(\theta)=1-\sin^2(\theta)$

情形 2：$\sqrt{b^2x^2-a^2}$

• 换元： $x=\frac{a}{b}\sec(\theta)$
• 恒等式： $\tan^2(\theta)=\sec^2(\theta)-1$

情形 3：$\sqrt{a^2+b^2x^2}$

• 换元： $x=\frac{a}{b}\tan(\theta)$
• 恒等式： $\sec^2(\theta)=1+\tan^2(\theta)$

示例

$\int \frac{16}{x^2 \sqrt{4-9x^2}} \, dx$

令 $x=\frac{2}{3}\sin(\theta)$，则 $dx=\frac{2}{3}\cos(\theta)d\theta$，并且

$$\sqrt{4-9x^2}=\sqrt{4-4\sin^2(\theta)}=2\mid\cos(\theta)\mid.$$

在此情形取 $\sqrt{4-9x^2}=2\cos(\theta)$，原积分化为

$$\int \frac{16}{\left(\frac{2}{3}\sin(\theta)\right)^2\cdot2\cos(\theta)} \cdot\frac{2}{3}\cos(\theta)\,d\theta =\int12\csc^2(\theta)\,d\theta =-12\cot(\theta)+C.$$

这里使用余割的定义 $\csc(\theta)=\frac{1}{\sin(\theta)}$。

使用直角三角形关系 $\sin(\theta)=\frac{3x}{2}$，可得

$\cot(\theta)=\frac{\sqrt{4-9x^2}}{3x}.$

因此

$$\int \frac{16}{x^2 \sqrt{4 - 9x^2}} \, dx = -4 \frac{\sqrt{4 - 9x^2}}{x} + C.$$

查看清晰大图

把原图的 a 换成 2，把原图的 x 换成正文的 3x，就对应上面的换元。在 0 < x < 2/3 时，邻边长为 √(4 − 9x²)，邻边除以对边即得 cot θ。x 为负时应使用上文带符号的三角恒等式，不能把负数当作边长。 可在 OpenStax 免费阅读原书。

Gilbert Strang & Edwin Herman, OpenStax, Calculus Volume 2, Figure 3.4. · CC BY-NC-SA 4.0

积分中的部分分式分解

部分分式用于简化有理式 $\frac{P(x)}{Q(x)}$ 的积分，其中 $P(x)$ 的次数低于 $Q(x)$。

分解步骤

1. 尽可能完全分解分母 $Q(x)$。
2. 对 $Q(x)$ 的每个因式写出相应部分分式，并以常数表示分子。
3. 消去分母并比较 $x$ 的同次幂系数，求出常数。

$Q(x)$ 的因式	部分分式中的项
$ax+b$	$\frac{A}{ax+b}$
$ax^2+bx+c$	$\frac{Ax+B}{ax^2+bx+c}$
$(ax+b)^k$	$\frac{A_1}{ax+b}+\frac{A_2}{(ax+b)^2}+\cdots+\frac{A_k}{(ax+b)^k}$
$(ax^2+bx+c)^k$	$\frac{A_1x+B_1}{ax^2+bx+c}+\cdots+\frac{A_kx+B_k}{(ax^2+bx+c)^k}$

部分分式积分示例

$\int \frac{7x^2+13x}{(x-1)(x^2+4)}\,dx$

假设

$$\frac{7x^2+13x}{(x-1)(x^2+4)}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+4}.$$

两边乘以公分母并展开：

$$7x^2+13x=A(x^2+4)+(Bx+C)(x-1) =(A+B)x^2+(C-B)x+4A-C.$$

比较系数：

$$\begin{aligned} A+B&=7,\\ C-B&=13,\\ 4A-C&=0. \end{aligned}$$

解得 $A=4$、$B=3$、$C=16$，所以积分改写为

$\int \frac{4}{x-1}+\frac{3x+16}{x^2+4}\,dx.$

分别积分：$\frac{4}{x-1}$ 得 $4\ln|x-1|$；$\frac{3x}{x^2+4}$ 令 $u=x^2+4$；$\frac{16}{x^2+4}$ 对应反正切。这是因为 $\frac{d}{dx}\left[\tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)\right]=\frac{2}{x^2+4}$。最终得到

$$\int \frac{7x^2 + 13x}{(x - 1)(x^2 + 4)} \, dx = 4 \ln|x - 1| + \frac{3}{2} \ln|x^2 + 4| + 8\tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C.$$

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