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Pour u , v u,v u , v [ a , b ] [a,b] [ a , b ] ( u v ) ′ = u ′ v + u v ′ (uv)'=u'v+uv' ( uv ) ′ = u ′ v + u v ′
∫ a b u ( x ) v ′ ( x ) d x = [ u ( x ) v ( x ) ] a b − ∫ a b v ( x ) u ′ ( x ) d x . \int_a^b u(x)v'(x)\,dx=[u(x)v(x)]_a^b-\int_a^b v(x)u'(x)\,dx. ∫ a b u ( x ) v ′ ( x ) d x = [ u ( x ) v ( x ) ] a b − ∫ a b v ( x ) u ′ ( x ) d x . Choisir u u u d v dv d v x x x ln x ⋅ 1 \ln x\cdot1 ln x ⋅ 1
Pour les substitutions quadratiques ci-dessous, prendre a , b > 0 a,b>0 a , b > 0 − π / 2 < θ < π / 2 -\pi/2<\theta<\pi/2 − π /2 < θ < π /2 x > a / b x>a/b x > a / b 0 < θ < π / 2 0<\theta<\pi/2 0 < θ < π /2 0 < ∣ x ∣ < 2 / 3 0<|x|<2/3 0 < ∣ x ∣ < 2/3 θ = arcsin ( 3 x / 2 ) \theta=\arcsin(3x/2) θ = arcsin ( 3 x /2 ) cos θ > 0 \cos\theta>0 cos θ > 0 x < 0 x<0 x < 0 cot θ = cos θ / sin θ \cot\theta=\cos\theta/\sin\theta cot θ = cos θ / sin θ
Pour les éléments simples, effectuer d’abord la division polynomiale si le degré du numérateur n’est pas inférieur. Factoriser sur les réels ; les facteurs quadratiques du tableau doivent être irréductibles (b 2 − 4 a c < 0 b^2-4ac<0 b 2 − 4 a c < 0 x < 1 x<1 x < 1 x > 1 x>1 x > 1
Intégration par parties
L'intégration par parties est une technique basée sur la règle de dérivation d'un produit. La formule est :
∫ u d v = u v − ∫ v d u \int u dv = uv - \int v du ∫ u d v = uv − ∫ v d u Le choix de u u u d v dv d v u u u d v dv d v d u du d u v v v
Exemple I
∫ x e − x d x \int x e^{-x} \, dx ∫ x e − x d x Posons u = x u = x u = x d u = d x du = dx d u = d x d v = e − x d x dv = e^{-x} dx d v = e − x d x v = − e − x v = -e^{-x} v = − e − x
D'après la formule d'intégration par parties ∫ u d v = u v − ∫ v d u \int u \, dv = uv - \int v \, du ∫ u d v = uv − ∫ v d u
∫ x e − x d x = u v − ∫ v d u \int x e^{-x} \, dx = uv - \int v \, du ∫ x e − x d x = uv − ∫ v d u ∫ x e − x d x = − x e − x − ∫ − e − x d x \int x e^{-x} \, dx = -x e^{-x} - \int -e^{-x} \, dx ∫ x e − x d x = − x e − x − ∫ − e − x d x Puisque ∫ − e − x d x = e − x \int -e^{-x}\,dx=e^{-x} ∫ − e − x d x = e − x
∫ x e − x d x = − x e − x − e − x + C = − ( x + 1 ) e − x + C \int x e^{-x} \, dx = -x e^{-x} - e^{-x} + C = -(x+1)e^{-x}+C ∫ x e − x d x = − x e − x − e − x + C = − ( x + 1 ) e − x + C Où C C C
Exemple II
∫ 3 5 ln ( x ) d x \int_{3}^{5} \ln(x) \, dx ∫ 3 5 ln ( x ) d x Posons u = ln ( x ) u = \ln(x) u = ln ( x ) d u = 1 x d x du = \frac{1}{x}dx d u = x 1 d x d v = d x dv = dx d v = d x v = x v = x v = x
En utilisant la formule d'intégration par parties ∫ a b u d v = u v ∣ a b − ∫ a b v d u \int_{a}^{b} u \, dv = uv \bigg|_{a}^{b} - \int_{a}^{b} v \, du ∫ a b u d v = uv a b − ∫ a b v d u
∫ 3 5 ln ( x ) d x = x ln ( x ) ∣ 3 5 − ∫ 3 5 x 1 x d x \int_{3}^{5} \ln(x) \, dx = x\ln(x) \bigg|_{3}^{5} - \int_{3}^{5} x \, \frac{1}{x} \, dx ∫ 3 5 ln ( x ) d x = x ln ( x ) 3 5 − ∫ 3 5 x x 1 d x En simplifiant l'intégrale ∫ 3 5 x 1 x d x \int_{3}^{5} x \, \frac{1}{x} \, dx ∫ 3 5 x x 1 d x ∫ 3 5 d x \int_{3}^{5} dx ∫ 3 5 d x
∫ 3 5 ln ( x ) d x = x ln ( x ) ∣ 3 5 − ∫ 3 5 d x \int_{3}^{5} \ln(x) \, dx = x\ln(x) \bigg|_{3}^{5} - \int_{3}^{5} dx ∫ 3 5 ln ( x ) d x = x ln ( x ) 3 5 − ∫ 3 5 d x ∫ 3 5 ln ( x ) d x = x ln ( x ) ∣ 3 5 − x ∣ 3 5 \int_{3}^{5} \ln(x) \, dx = x\ln(x) \bigg|_{3}^{5} - x \bigg|_{3}^{5} ∫ 3 5 ln ( x ) d x = x ln ( x ) 3 5 − x 3 5 En soustrayant 5 − 3 5 - 3 5 − 3 5 ln ( 5 ) − 3 ln ( 3 ) 5\ln(5) - 3\ln(3) 5 ln ( 5 ) − 3 ln ( 3 )
∫ 3 5 ln ( x ) d x = 5 ln ( 5 ) − 3 ln ( 3 ) − ( 5 − 3 ) \int_{3}^{5} \ln(x) \, dx = 5\ln(5) - 3\ln(3) - (5 - 3) ∫ 3 5 ln ( x ) d x = 5 ln ( 5 ) − 3 ln ( 3 ) − ( 5 − 3 ) ∫ 3 5 ln ( x ) d x = 5 ln ( 5 ) − 3 ln ( 3 ) − 2 \int_{3}^{5} \ln(x) \, dx = 5\ln(5) - 3\ln(3) - 2 ∫ 3 5 ln ( x ) d x = 5 ln ( 5 ) − 3 ln ( 3 ) − 2 Substitutions trigonométriques dans l'intégration
Cas 1 : a 2 − b 2 x 2 \sqrt{a^2 - b^2x^2} a 2 − b 2 x 2
Substitution : x = a b sin ( θ ) x = \frac{a}{b} \sin(\theta) x = b a sin ( θ ) Identité : cos 2 ( θ ) = 1 − sin 2 ( θ ) \cos^2(\theta) = 1 - \sin^2(\theta) cos 2 ( θ ) = 1 − sin 2 ( θ )
Cas 2 : b 2 x 2 − a 2 \sqrt{b^2x^2 - a^2} b 2 x 2 − a 2
Substitution : x = a b sec ( θ ) x = \frac{a}{b} \sec(\theta) x = b a sec ( θ ) Identité : tan 2 ( θ ) = sec 2 ( θ ) − 1 \tan^2(\theta) = \sec^2(\theta) - 1 tan 2 ( θ ) = sec 2 ( θ ) − 1
Cas 3 : a 2 + b 2 x 2 \sqrt{a^2 + b^2x^2} a 2 + b 2 x 2
Substitution : x = a b tan ( θ ) x = \frac{a}{b} \tan(\theta) x = b a tan ( θ ) Identité : sec 2 ( θ ) = 1 + tan 2 ( θ ) \sec^2(\theta) = 1 + \tan^2(\theta) sec 2 ( θ ) = 1 + tan 2 ( θ )
Exemple
∫ 16 x 2 4 − 9 x 2 d x \int \frac{16}{x^2 \sqrt{4-9x^2}} \, dx ∫ x 2 4 − 9 x 2 16 d x Posons x = 2 3 sin ( θ ) x = \frac{2}{3} \sin(\theta) x = 3 2 sin ( θ ) d x = 2 3 cos ( θ ) d θ dx = \frac{2}{3}\cos(\theta)d\theta d x = 3 2 cos ( θ ) d θ
4 − 9 x 2 = 4 − 4 sin 2 ( θ ) = 4 cos 2 ( θ ) = 2 ∣ cos ( θ ) ∣ \sqrt{4-9x^2}=\sqrt{4-4\sin^2(\theta)}=\sqrt{4\cos^2(\theta)}= 2 \mid \cos(\theta) \mid 4 − 9 x 2 = 4 − 4 sin 2 ( θ ) = 4 cos 2 ( θ ) = 2 ∣ cos ( θ ) ∣ Dans ce cas, nous avons 4 − 9 x 2 = 2 cos ( θ ) \sqrt{4-9x^2} = 2\cos(\theta) 4 − 9 x 2 = 2 cos ( θ )
∫ 16 x 2 4 − 9 x 2 d x = ∫ 16 ( 2 3 sin ( θ ) ) 2 ⋅ 2 cos ( θ ) ⋅ 2 3 cos ( θ ) d θ = ∫ 12 sin 2 ( θ ) d θ \int \frac{16}{x^2 \sqrt{4-9x^2}} \, dx = \int \frac{16}{\left(\frac{2}{3}\sin(\theta)\right)^2 \cdot 2\cos(\theta)} \cdot \frac{2}{3}\cos(\theta) \, d\theta = \int \frac{12}{\sin^2(\theta)} \, d\theta ∫ x 2 4 − 9 x 2 16 d x = ∫ ( 3 2 sin ( θ ) ) 2 ⋅ 2 cos ( θ ) 16 ⋅ 3 2 cos ( θ ) d θ = ∫ sin 2 ( θ ) 12 d θ ∫ 16 ( 2 3 sin ( θ ) ) 2 ⋅ 2 cos ( θ ) ⋅ 2 3 cos ( θ ) d θ = ∫ 12 csc 2 ( θ ) d θ \int \frac{16}{\left(\frac{2}{3}\sin(\theta)\right)^2 \cdot 2\cos(\theta)} \cdot \frac{2}{3}\cos(\theta) \, d\theta = \int 12 \csc^2(\theta) \, d\theta ∫ ( 3 2 sin ( θ ) ) 2 ⋅ 2 cos ( θ ) 16 ⋅ 3 2 cos ( θ ) d θ = ∫ 12 csc 2 ( θ ) d θ Cette simplification utilise l'identité sin 2 ( θ ) + cos 2 ( θ ) = 1 \sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1 sin 2 ( θ ) + cos 2 ( θ ) = 1 csc ( θ ) = 1 sin ( θ ) \csc(\theta) = \frac{1}{\sin(\theta)} csc ( θ ) = s i n ( θ ) 1
La primitive de csc 2 ( θ ) \csc^2(\theta) csc 2 ( θ ) − cot ( θ ) - \cot(\theta) − cot ( θ )
∫ 12 csc 2 ( θ ) d θ = − 12 cot ( θ ) + C \int 12 \csc^2(\theta) \, d\theta = -12 \cot(\theta) + C ∫ 12 csc 2 ( θ ) d θ = − 12 cot ( θ ) + C Utilisation de la trigonométrie du triangle rectangle
Pour revenir à x x x sin ( θ ) = 3 x 2 \sin(\theta) = \frac{3x}{2} sin ( θ ) = 2 3 x
Le triangle formé par la substitution suggère que :
cot ( θ ) = 4 − 9 x 2 3 x \cot(\theta) = \frac{\sqrt{4 - 9x^2}}{3x} cot ( θ ) = 3 x 4 − 9 x 2 Intégrale finale en fonction de x
En substituant cot ( θ ) \cot(\theta) cot ( θ )
− 12 cot ( θ ) + C = − 4 4 − 9 x 2 1 x + C -12 \cot(\theta) + C = -4\sqrt{4 - 9x^2} \frac{1}{x} + C − 12 cot ( θ ) + C = − 4 4 − 9 x 2 x 1 + C Ainsi, la primitive finale en termes de x x x
∫ 16 x 2 4 − 9 x 2 d x = − 4 4 − 9 x 2 x + C \int \frac{16}{x^2 \sqrt{4 - 9x^2}} \, dx = -4 \frac{\sqrt{4 - 9x^2}}{x} + C ∫ x 2 4 − 9 x 2 16 d x = − 4 x 4 − 9 x 2 + C Voir l’image en grand Pour retrouver la substitution étudiée, remplacez a par 2 et le x du dessin par 3x. Pour 0 < x < 2/3, le côté adjacent vaut √(4 − 9x²) ; son rapport au côté opposé donne cot θ. Pour x négatif, utilisez l’identité trigonométrique signée établie plus haut, sans attribuer de longueur négative aux côtés. Accès gratuit au livre sur OpenStax.
Décomposition en éléments simples pour l'intégration
Concept
La décomposition en éléments simples est une technique utilisée pour simplifier l'intégration d'expressions rationnelles, P ( x ) Q ( x ) \frac{P(x)}{Q(x)} Q ( x ) P ( x ) P ( x ) P(x) P ( x ) Q ( x ) Q(x) Q ( x )
Étapes de la décomposition
Factoriser le dénominateur Q ( x ) Q(x) Q ( x )
Écrire une fraction partielle pour chaque facteur de Q ( x ) Q(x) Q ( x )
Déterminer les constantes en éliminant les dénominateurs et en égalisant les coefficients des puissances correspondantes de x x x
Tableau pour la décomposition
Facteur de Q ( x ) Q(x) Q ( x ) Terme dans la décomposition en éléments simples a x + b ax + b a x + b A a x + b \frac{A}{ax + b} a x + b A a x 2 + b x + c ax^2 + bx + c a x 2 + b x + c A x + B a x 2 + b x + c \frac{Ax + B}{ax^2 + bx + c} a x 2 + b x + c A x + B ( a x + b ) k (ax + b)^k ( a x + b ) k A 1 a x + b + A 2 ( a x + b ) 2 + ⋯ + A k ( a x + b ) k \frac{A_1}{ax + b} + \frac{A_2}{(ax + b)^2} + \cdots + \frac{A_k}{(ax + b)^k} a x + b A 1 + ( a x + b ) 2 A 2 + ⋯ + ( a x + b ) k A k ( a x 2 + b x + c ) k (ax^2 + bx + c)^k ( a x 2 + b x + c ) k A 1 x + B 1 a x 2 + b x + c + ⋯ + A k x + B k ( a x 2 + b x + c ) k \frac{A_1x + B_1}{ax^2 + bx + c} + \cdots + \frac{A_kx + B_k}{(ax^2 + bx + c)^k} a x 2 + b x + c A 1 x + B 1 + ⋯ + ( a x 2 + b x + c ) k A k x + B k
Exemple d'intégration par fractions partielles
∫ 7 x 2 + 13 x ( x − 1 ) ( x 2 + 4 ) d x \int \frac{7x^2 + 13x}{(x - 1)(x^2 + 4)} \, dx ∫ ( x − 1 ) ( x 2 + 4 ) 7 x 2 + 13 x d x Décomposition en fractions partielles
Pour décomposer la fonction, supposons qu'elle puisse s'écrire comme la somme de fractions :
7 x 2 + 13 x ( x − 1 ) ( x 2 + 4 ) = A x − 1 + B x + C x 2 + 4 \frac{7x^2 + 13x}{(x - 1)(x^2 + 4)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{Bx + C}{x^2 + 4} ( x − 1 ) ( x 2 + 4 ) 7 x 2 + 13 x = x − 1 A + x 2 + 4 B x + C Où A A A B B B C C C
Détermination des constantes
Multipliez les deux membres par le dénominateur commun ( x − 1 ) ( x 2 + 4 ) (x - 1)(x^2 + 4) ( x − 1 ) ( x 2 + 4 )
7 x 2 + 13 x = A ( x 2 + 4 ) + ( B x + C ) ( x − 1 ) 7x^2 + 13x = A(x^2 + 4) + (Bx + C)(x - 1) 7 x 2 + 13 x = A ( x 2 + 4 ) + ( B x + C ) ( x − 1 ) En développant le membre de droite et en regroupant les termes semblables, on obtient :
7 x 2 + 13 x = ( A + B ) x 2 + ( C − B ) x + 4 A − C 7x^2 + 13x = (A + B)x^2 + (C - B)x + 4A - C 7 x 2 + 13 x = ( A + B ) x 2 + ( C − B ) x + 4 A − C Égalisation des coefficients
Faites correspondre les coefficients des puissances correspondantes de x x x
x 2 : A + B = 7 x : C − B = 13 Constante : 4 A − C = 0 \begin{align*}
x^2: & \quad A + B = 7 \\
x: & \quad C - B = 13 \\
\text{Constante}: & \quad 4A - C = 0
\end{align*} x 2 : x : Constante : A + B = 7 C − B = 13 4 A − C = 0 Résolution du système d'équations
Résolvez ce système d'équations linéaires pour trouver les valeurs de A A A B B B C C C
A = 4 B = 3 C = 16 \begin{align*}
A & = 4 \\
B & = 3 \\
C & = 16
\end{align*} A B C = 4 = 3 = 16 Réécriture de l'intégrale
Substituez les valeurs de A A A B B B C C C
∫ 4 x − 1 + 3 x + 16 x 2 + 4 d x \int \frac{4}{x - 1} + \frac{3x + 16}{x^2 + 4} \, dx ∫ x − 1 4 + x 2 + 4 3 x + 16 d x Intégration de chaque terme
Pour 4 x − 1 \frac{4}{x - 1} x − 1 4 4 ln ∣ x − 1 ∣ 4 \ln|x - 1| 4 ln ∣ x − 1∣
Pour 3 x x 2 + 4 \frac{3x}{x^2 + 4} x 2 + 4 3 x u = x 2 + 4 u = x^2 + 4 u = x 2 + 4 3 2 ln ∣ x 2 + 4 ∣ \frac{3}{2} \ln|x^2 + 4| 2 3 ln ∣ x 2 + 4∣
Pour 16 x 2 + 4 \frac{16}{x^2 + 4} x 2 + 4 16 8 tan − 1 ( x 2 ) 8\tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) 8 tan − 1 ( 2 x ) d d x [ tan − 1 ( x 2 ) ] = 2 x 2 + 4 \frac{d}{dx}\left[\tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)\right] = \frac{2}{x^2 + 4} d x d [ tan − 1 ( 2 x ) ] = x 2 + 4 2
Réponse finale
Combinez toutes les primitives et ajoutez la constante d'intégration pour obtenir la solution finale :
∫ 7 x 2 + 13 x ( x − 1 ) ( x 2 + 4 ) d x = 4 ln ∣ x − 1 ∣ + 3 2 ln ∣ x 2 + 4 ∣ + 8 tan − 1 ( x 2 ) + C \int \frac{7x^2 + 13x}{(x - 1)(x^2 + 4)} \, dx = 4 \ln|x - 1| + \frac{3}{2} \ln|x^2 + 4| + 8\tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C ∫ ( x − 1 ) ( x 2 + 4 ) 7 x 2 + 13 x d x = 4 ln ∣ x − 1∣ + 2 3 ln ∣ x 2 + 4∣ + 8 tan − 1 ( 2 x ) + C Mes lectures · Les notes ouvertes sont mémorisées dans ce navigateur. 
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