Théorème fondamental de l’analyse

Dans cette page, on suppose $f$ continue sur l’intervalle fermé considéré. La dérivée ordinaire de la partie I concerne les points intérieurs ; aux extrémités, on utilise des dérivées unilatérales. Dans la partie II, $F$ est continue sur $[a,b]$ et vérifie $F'=f$ sur $(a,b)$. Ces hypothèses suffisantes interdisent de traverser un pôle en soustrayant simplement les valeurs aux bornes. Pour les bornes variables, $u,v$ doivent être dérivables et rester dans un intervalle où $f$ est continue. L’intégrande dépend ici de $t$, sans dépendance supplémentaire en $x$.

Partie I

• Continuité : si $f(x)$ est continue sur $[a, b]$, alors la fonction définie par l’intégrale de $f$ entre $a$ et $x$ est aussi continue sur $[a, b]$.

$$g(x) = \int_a^x f(t) \, dt$$

• Dérivation : la dérivée de $g(x)$ par rapport à $x$ est la fonction initiale $f(x)$.

$$g'(x) = \frac{d}{dx} \int_a^x f(t) \, dt = f(x)$$

Variantes de la partie I

Ces variantes consistent à dériver une intégrale dont les bornes d’intégration varient :

1. Borne supérieure fonction de $x$ :

$$\frac{d}{dx} \int_a^{u(x)} f(t) \, dt = u'(x) f(u(x))$$

2. Borne inférieure fonction de $x$ :

$$\frac{d}{dx} \int_{u(x)}^b f(t) \, dt = -u'(x) f(u(x))$$

3. Deux bornes fonctions de $x$ :

$$\frac{d}{dx} \int_{u(x)}^{v(x)} f(t) \, dt = v'(x) f(v(x)) - u'(x) f(u(x))$$

Partie II

• Primitive : si $F(x)$ est une primitive de $f(x)$, c’est-à-dire si $F'(x) = f(x)$, alors l’intégrale de $f$ entre $a$ et $b$ est la différence des valeurs de $F$ en ces points.

$$\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)$$

Pourquoi la dérivation retrouve l’intégrande

L’additivité donne

$$\frac{g(x+h)-g(x)}h=\frac1h\int_x^{x+h}f(t)\,dt.$$

C’est la valeur moyenne de $f$ sur un intervalle qui se rétrécit. La continuité en $x$ impose la limite $f(x)$, donc $g'=f$. Toute autre primitive $F$ diffère de $g$ d’une constante, d’où $F(b)-F(a)=g(b)-g(a)=\int_a^bf$. Cela prouve la partie II sous les hypothèses annoncées.

Par exemple, $\int_0^2 3x^2\,dx=[x^3]_0^2=8$. Pour des bornes variables,

$$\frac{d}{dx}\int_x^{x^2}e^{-t^2}\,dt =2x e^{-x^4}-e^{-x^2}.$$

Ce deuxième calcul ne nécessite aucune primitive élémentaire. La continuité importe : si $f(t)=0$ pour $t<0$ et $f(t)=1$ pour $t\ge0$, alors $\int_{-1}^x f(t)\,dt=\max(0,x)$ près de zéro. Cette fonction est continue mais non dérivable au saut.

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