Définition des intégrales

Cette page traite de l’intégration de Riemann pour une fonction réelle d’une variable réelle. Une intégrale définie est un nombre ; une intégrale indéfinie est une famille de fonctions. Les notations se ressemblent, mais les questions diffèrent.

Calcul intégral

Intégrale définie

• Concept : une intégrale définie cumule des hauteurs multipliées par des largeurs sur l’intervalle [a, b]. On découpe l’intervalle en petits morceaux, on multiplie une valeur de la fonction par la largeur de chaque morceau, puis on additionne. Si ces sommes tendent vers une même valeur lorsque la largeur du plus grand morceau tend vers zéro, indépendamment des points choisis, cette valeur est l’intégrale. Les contributions sous l’axe horizontal sont négatives.

• Définition mathématique :

  $$\int_{a}^{b} f(x) \, dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \Delta x$$

  où $\Delta x$ est la largeur des sous-intervalles, $x_i^*$ un point échantillon de chaque sous-intervalle, et $f(x)$ une fonction continue sur [a, b].

Primitive

• Concept : une primitive de $f(x)$ est une fonction $F(x)$ dont la dérivée vaut $f(x)$.
• Relation : si $F'(x) = f(x)$, alors $F(x)$ est une primitive de $f(x)$.

Intégrale indéfinie

• Concept : l'intégrale indéfinie représente la famille des primitives $F(x)$ de $f(x)$.

• Forme générale :

  $$\int f(x) \, dx = F(x) + C$$

  où $C$ est la constante d'intégration qui englobe toutes les primitives possibles de $f(x)$.

Ce que mesure la somme

Pour une partition uniforme, $x_i=a+i(b-a)/n$ et $\Delta x=(b-a)/n$, avec $x_i^*\in[x_{i-1},x_i]$. Chaque terme est une hauteur multipliée par une largeur. La limite doit être indépendante des points choisis. La définition générale de Riemann autorise des largeurs différentes, dont le maximum tend vers zéro. La continuité suffit, mais n’est pas nécessaire : une fonction en escalier bornée avec un nombre fini de sauts est intégrable.

Pour $f(x)=x$ sur $[0,1]$, les extrémités droites donnent

$$\sum_{i=1}^n\frac{i}{n}\frac1n=\frac{n+1}{2n}\longrightarrow\frac12.$$

Cette limite définit l’intégrale sans chercher de primitive. En revanche, $\int x\,dx=x^2/2+C$ se vérifie par dérivation. Sur un intervalle, deux primitives diffèrent d’une constante : leur différence a une dérivée nulle. Sur un domaine non connexe, comme $x\ne0$ pour $1/x$, chaque composante peut avoir sa propre constante.

L’aire sous l’axe compte négativement : $\int_{-1}^1x\,dx=0$, mais l’aire géométrique vaut $\int_{-1}^1|x|\,dx=1$. L’intégrale de la vitesse algébrique donne le déplacement ; celle de sa valeur absolue donne la distance. Les unités de l’intégrale sont celles de $f$ multipliées par celles de $x$.

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