Propriétés et formules fondamentales

Ces règles supposent les fonctions dérivables aux points où elles sont évaluées. Un quotient ou un inverse exige aussi un dénominateur non nul. Pour $g\circ h$, il faut que $h$ soit dérivable en $x$, que $g$ le soit en $h(x)$ et que la composition soit définie au voisinage.

Dans la règle des puissances, $n$ est constant, et non une fonction de $x$. Pour un réel $n$ quelconque, utilisez $x>0$ ; les puissances entières positives s'étendent à tous les réels, les puissances entières négatives excluent zéro. Aux frontières, comme $x=0$ pour une puissance fractionnaire, revenez à la définition. Voir les formules et leurs exemples.

Règles fondamentales de dérivation

• Règle de la constante : La dérivée d'une constante est égale à zéro.

  $$\frac{d}{dx} c = 0$$

• Règle du facteur constant : La dérivée d'une constante multipliée par une fonction est égale à la constante multipliée par la dérivée de la fonction.

  $$\frac{d}{dx} [c f(x)] = c f'(x)$$

• Règle des puissances : La dérivée d'une variable élevée à une puissance est la puissance multipliée par la variable élevée à une puissance diminuée d'une unité.

  $$\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1}$$

Dérivée de fonctions composées

Règle de la somme

La dérivée d'une somme de deux fonctions est la somme de leurs dérivées.

$$\frac{d}{dx} [f(x) + g(x)] = f'(x) + g'(x)$$

Règle de la différence

La dérivée d'une différence entre deux fonctions est la différence de leurs dérivées.

$$\frac{d}{dx} [f(x) - g(x)] = f'(x) - g'(x)$$

Règle du produit

La dérivée du produit de deux fonctions est donnée par :

$$\frac{d}{dx} [f(x) g(x)] = f'(x) g(x) + f(x) g'(x)$$

Règle du quotient

La dérivée du quotient de deux fonctions est :

$$\frac{d}{dx} \left( \frac{f(x)}{g(x)} \right) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}$$

Règle de dérivation en chaîne

Définition formelle

Pour deux fonctions $g$ et $h$, avec $y = g(u)$ et $u = h(x)$, la dérivée de $y$ par rapport à $x$ est :

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$$

Notation de Lagrange

En utilisant la notation de Lagrange, où $'$ désigne la dérivée, pour $y = g(h(x))$, la règle de dérivation en chaîne s'exprime comme :

$$y'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)$$

Généralisation pour des compositions multiples

Pour des compositions impliquant plusieurs fonctions, telles que $F = f \circ g \circ h$, la règle de dérivation en chaîne s'étend comme suit : Ici $u=h(t)$, $v=g(u)$, $y=f(v)$ et $F(t)=y$.

$$\frac{dF}{dt} = \frac{dy}{dv} \cdot \frac{dv}{du} \cdot \frac{du}{dt}$$

Ou, en utilisant la notation de Lagrange pour une fonction $F(t)$ qui est une composition de $f$, $g$ et $h$, on obtient :

$$(f \circ g \circ h)'(t) = f'(g(h(t))) \cdot g'(h(t)) \cdot h'(t)$$

Dérivées particulières

• Dérivée d'un carré : La dérivée du carré d'une fonction est égale à deux fois la fonction multipliée par la dérivée de la fonction.

  $$\frac{d}{dx} [f(x)]^2 = 2 f(x) f'(x)$$

• Dérivée d'un inverse : La dérivée de l'inverse d'une fonction.

  $$\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{g(x)} \right) = -\frac{g'(x)}{[g(x)]^2}$$

Pourquoi la règle du produit comporte deux termes

Pour $P=fg$, ajoutons et retranchons $f(x)g(x+h)$ au numérateur :

$$\frac{P(x+h)-P(x)}h =\frac{f(x+h)-f(x)}h\,g(x+h) +f(x)\frac{g(x+h)-g(x)}h.$$

Le passage à la limite donne $P'=f'g+fg'$, car la dérivabilité de $g$ entraîne sa continuité. Ce n'est pas $f'g'$ : avec $f(x)=g(x)=x$, cette erreur donnerait $1$ au lieu de $2x$.

Prenons $y=x^2\sin(3x)$ pour combiner les règles. L'opération extérieure est un produit ; le second facteur contient une composition. Ainsi,

$$y'=2x\sin(3x)+x^2\cos(3x)\cdot3.$$

Le facteur $3$ est la dérivée de l'entrée intérieure $3x$. La règle de la chaîne compose des taux locaux ; la notation de Leibniz aide à la mémoriser, mais ne justifie pas l'annulation arbitraire de symboles.

Références

• tutorial.math.lamar.edu/pdf/calculus_cheat_sheet_derivatives.pdf
• personal.math.ubc.ca/~CLP/CLP1/clp_1_dc_text.pdf
• mitres_18_001_f17_full_book.pdf

Mes lectures · Les notes ouvertes sont mémorisées dans ce navigateur.