Définitions de la dérivée

Pour $f(x)=x^2$, lorsque $x$ passe de $3$ à $4$, la valeur passe de $9$ à $16$ : le taux de variation moyen est donc $(16-9)/(4-3)=7$. Si $x$ passe plutôt de $3$ à $3.1$, la valeur passe de $9$ à $9.61$, soit un taux moyen de $(9.61-9)/0.1=6.1$.

Notons $h$ la variation non nulle de l'entrée, en gardant le point de départ $a=3$. Diviser la variation de la sortie par $h$ donne :

$$\frac{f(3+h)-f(3)}h =\frac{(3+h)^2-9}h=6+h\quad(h\ne0).$$

Ce rapport est le taux d'accroissement, ou quotient de différences : il mesure la variation moyenne entre les deux points.

Variation de l'entrée $h$	Taux d'accroissement $6+h$
$1$	$7$
$0.1$	$6.1$
$0.01$	$6.01$
$-0.1$	$5.9$

Les pentes s'approchent de $6$ lorsque $h$ tend vers zéro de chaque côté. En $h=0$, le quotient n'est pas défini : la dérivée vient de la limite, et non de la substitution de zéro dans le quotient.

Dans la vue de la fonction carré ci-dessous, $P=(3,9)$ reste fixe et $Q=(3+h,(3+h)^2)$ se déplace avec $h$ ; pour $h\ne0$, la droite qui les relie est une sécante dont la pente est le taux d'accroissement.

Fonctionf(x) = x² · a = 3f(x) = |x| · a = 0

CourbeSécante PQTangente en P

Déplacer Q avec h

h = 1.00

P = (3.00, 9.00) · Q = (4.00, 16.00)Taux d’accroissement: 7.00La pente de la sécante vaut 6 + h. Quand Q se rapproche de P, d’un côté ou de l’autre, elle tend vers 6.

Définition formelle

Pour une fonction $y=f(x)$, la dérivée est le taux de variation instantané défini par

$$f'(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(x + h) - f(x)}{h},$$

si cette limite est un nombre réel fini. La dérivée bilatérale usuelle exige que $f$ soit définie sur un intervalle ouvert autour du point et que les quotients des deux côtés tendent vers la même valeur. À une extrémité du domaine, on précise qu'il s'agit d'une dérivée unilatérale. La définition par une limite et ses exemples approfondissent cette distinction entre valeur d'une fonction et dérivée.

Pour la fonction carré, $f'(3)=6$. Plus généralement, en tout réel $a$,

$$\frac{f(a+h)-f(a)}h =\frac{a^2+2ah+h^2-a^2}h=2a+h\quad(h\ne0),$$

donc $f'(a)=2a$. La simplification est valable pour $h\ne0$ ; aucune division par zéro n'est effectuée.

Du quotient de différences à l'approximation locale

Pente de la tangente

Le taux d'accroissement est la pente de la sécante passant par $(a,f(a))$ et $(a+h,f(a+h))$. Sa limite finie $m=f'(a)$ est la pente de la tangente en $(a,f(a))$.

Équation de la tangente

Avec cette pente et le point $(a,f(a))$, l'équation de la tangente est

$$y = f(a) + f'(a)(x - a).$$

Pour $x^2$ en $a=3$, elle s'écrit $y=9+6(x-3)$. Avec $h=0.01$, la droite prédit $9+6(0.01)=9.06$, alors que la valeur exacte est $(3.01)^2=9.0601$. L'erreur vaut $h^2=0.0001$.

Plus généralement, la dérivabilité équivaut à

$$f(a+h)=f(a)+f'(a)h+r(h),\qquad \lim_{h\to0}\frac{r(h)}h=0.$$

On écrit le reste $r(h)=o(h)$ : sa grandeur devient négligeable devant $|h|$. Cette condition s'obtient en retranchant $f'(a)$ du quotient de différences qui définit la dérivée. Pour la fonction carré en $3$, $r(h)=h^2$, mais la dérivabilité seule ne garantit ni une erreur quadratique ni une bonne approximation loin de $a$.

Quand la pente locale n'existe pas

La même identité avec le reste donne $f(a+h)\to f(a)$ : la dérivabilité entraîne donc la continuité. La réciproque est fausse : $f(x)=|x|$ est continue en $0$, mais son quotient $|h|/h$ vaut $-1$ pour $h<0$ et $1$ pour $h>0$. Les pentes unilatérales diffèrent : il n'y a pas de dérivée bilatérale.

Revenez à la figure ci-dessus et choisissez $|x|$ en $0$. Faites tendre $h$ vers zéro de chaque côté : contrairement à $x^2$ en $3$, les pentes des sécantes ne tendent pas vers la même valeur. En $h=0$, le quotient reste indéfini pour les deux fonctions.

De même, $f(x)=\sqrt[3]{x}$ a pour quotient $h^{-2/3}\to+\infty$ en $0$ ; une tangente verticale n'est pas une dérivée finie.

Interprétation de la dérivée

Taux de variation

La pente $f'(a)$ donne la variation instantanée de la sortie par unité de variation de l'entrée près de $a$. L'approximation locale $f(a+h)\approx f(a)+f'(a)h$ traduit ce taux en une prédiction.

Interprétation physique dans le mouvement

Si $f(t)$ est la position d'un objet au temps $t$, alors $f'(a)$ est sa vitesse au temps $t=a$. Une position mesurée en mètres et un temps en secondes donnent une dérivée en mètres par seconde. Pour plusieurs entrées, le terme linéaire local analogue utilise un gradient et un vecteur déplacement.

Notations équivalentes pour les dérivées

Pour $y=f(x)$, ces notations désignent toutes la dérivée par rapport à $x$ :

• $f'(x)$
• $y'$
• $\frac{dy}{dx}$
• $\frac{d}{dx} f(x)$
• $Df(x)$

Notation pour les dérivées en un point spécifique

En $x=a$, on écrit

$$f'(a) = \left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=a} = \left. \frac{d}{dx} f(x) \right|_{x=a} = Df(a).$$

Références

• tutorial.math.lamar.edu/pdf/calculus_cheat_sheet_derivatives.pdf
• personal.math.ubc.ca/~CLP/CLP1/clp_1_dc_text.pdf
• mitres_18_001_f17_full_book.pdf

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