Dérivées et analyse des points critiques

Les tests de signe portent sur des intervalles où les dérivées indiquées existent, pas sur quelques points échantillonnés. Pour le test de la dérivée seconde, supposons $c$ intérieur et $f$ deux fois continûment dérivable près de $c$. La référence sur l'étude des courbes distingue extremums et points d'inflexion.

Dérivées

• Dérivée première $f'(x)$ : représente la pente ou le taux de variation de $f(x)$ en tout point $x$.
• Dérivée seconde $f''(x)$ : mesure la variation de la pente ; son signe détermine la concavité sur les intervalles où elle existe.
• Dérivées d’ordre supérieur : la dérivée $n$-ième $f^{(n)}(x)$ représente le taux de variation de la dérivée d’ordre $(n-1)$.

Points critiques

• Un nombre $c$ du domaine de $f$ est un nombre critique si $f'(c)=0$ ou si $f'(c)$ n’existe pas ; le point correspondant $(c,f(c))$ est un point critique du graphe.
• Test de la dérivée seconde : si $f'(c)=0$ et $f''(c)>0$, alors $f$ admet un minimum local en $c$. Si $f''(c)<0$, elle y admet un maximum local. Lorsque $f''(c)=0$, le test ne permet pas de conclure.
• Point d’inflexion : point où la concavité du graphe change effectivement. La seule condition $f''(c)=0$ ne suffit pas.

Méthode de Newton

• Itération fondée sur les tangentes pour approcher les racines ; la convergence n’est pas automatique.

• Donnée par la formule :

  $$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$

Dérivation implicite

• Employée pour les fonctions $y = g(x)$ qui ne sont pas explicitement résolues en $y$. La dérivée $dy/dx$ s’obtient grâce à la règle de la chaîne et aux autres règles de dérivation.

Intervalles de croissance et de décroissance

• Croissante : $f'(x) > 0$ implique que $f(x)$ est croissante sur cet intervalle.
• Décroissante : $f'(x) < 0$ implique que $f(x)$ est décroissante sur cet intervalle.

Concavité et points d’inflexion

• Convexe : si $f''(x) > 0$ pour tout $x$ d’un intervalle, $f(x)$ est convexe sur cet intervalle.
• Concave : si $f''(x) < 0$ pour tout $x$ d’un intervalle, $f(x)$ est concave sur cet intervalle.
• Point d’inflexion : si $f$ est continue en $c$ et si $f''$ a des signes opposés sur les intervalles immédiatement de part et d’autre, alors $(c,f(c))$ est un point d’inflexion.

Classer les candidats : un exemple complet

En un extremum local intérieur où la fonction est dérivable, $f'(c)=0$ (théorème de Fermat). La réciproque est fausse : $x^3$ a une dérivée nulle en $0$ tout en restant croissante. Pour une fonction continue, une dérivée première passant de positive à négative donne un maximum local ; de négative à positive, un minimum local. Sans changement de signe, ce test ne donne aucun extremum. La fonction doit être dérivable sur les intervalles adjacents.

Prenons $f(x)=x^3-3x$ sur $[-2,2]$. Alors

$$f'(x)=3(x-1)(x+1),\qquad f''(x)=6x.$$

Les nombres critiques intérieurs sont $-1,1$. La dérivée est positive sur $(-2,-1)$, négative sur $(-1,1)$, puis positive sur $(1,2)$. Ainsi, $f(-1)=2$ est un maximum local et $f(1)=-2$ un minimum local. Pour les extremums absolus sur l'intervalle fermé, comparons aussi les extrémités : $f(-2)=-2$ et $f(2)=2$. Le minimum $-2$ est atteint en $-2$ et $1$ ; le maximum $2$ en $-1$ et $2$. La continuité sur un intervalle fermé borné garantit que les extremums absolus sont atteints, mais il faut encore trouver tous les candidats.

La dérivée seconde change de signe en $0$, où le graphe est continu : $(0,0)$ est donc un point d'inflexion. En comparaison, $x^4$ a une dérivée seconde nulle en $0$ sans changement de concavité. Pour $x^{1/3}$, la concavité change en $0$ malgré l'absence de dérivée seconde en ce point. Pour $1/x$, la dérivée seconde change de signe de part et d'autre de zéro, mais aucun point du graphe n'y existe : ce n'est pas une inflexion. Enfin, $f''$ n'est pas la courbure géométrique elle-même ; pour un graphe deux fois dérivable, la courbure non signée vaut $|f''|/(1+(f')^2)^{3/2}$.

Calcul implicite et itération de Newton

Pour $x^2+y^2=1$, le long d'une branche dérivable $y=y(x)$, la dérivation donne $2x+2yy'=0$. Donc $y'=-x/y$ lorsque $y\ne0$ ; en $(0,1)$, la pente vaut $0$. En $(\pm1,0)$, cette division est impossible et le cercle a des tangentes verticales. Plus généralement, pour une équation continûment différentiable $F(x,y)=0$, la condition $F_y\ne0$ en une solution garantit une branche locale dérivable, avec $y'=-F_x/F_y$.

La méthode de Newton annule la prédiction de la tangente : $0=f(x_n)+f'(x_n)(x_{n+1}-x_n)$. On n'obtient la formule précédente que si $f'(x_n)\ne0$. Pour $f(x)=x^2-2$, partons de $x_0=1$ :

$$x_1=\frac32,\qquad x_2=\frac{17}{12},\qquad x_3=\frac{577}{408}\approx1.414215686.$$

Pour une fonction deux fois continûment dérivable près d'une racine simple (de dérivée non nulle), un départ suffisamment proche assure une convergence locale. Un départ éloigné peut échouer : pour $f(x)=x^3-2x+2$, partir de $0$ produit le cycle $0\to1\to0$. En calcul numérique, fixez un nombre maximal d'itérations, rejetez les valeurs indéfinies et les dérivées nulles ou dangereusement petites, puis contrôlez à la fois le pas et le résidu $|f(x_n)|$. Un petit pas ne certifie pas à lui seul une racine.

Références

• tutorial.math.lamar.edu/pdf/calculus_cheat_sheet_derivatives.pdf
• personal.math.ubc.ca/~CLP/CLP1/clp_1_dc_text.pdf
• mitres_18_001_f17_full_book.pdf

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