Continuité

Une fonction $f$ est continue en $a$ lorsque :

1. $f(a)$ est définie ;
2. $\lim_{x\to a}f(x)$ existe ;
3. $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$.

La continuité réunit ainsi deux informations : le comportement de la fonction au voisinage du point et la valeur qui lui est attribuée en ce point.

Continuité unilatérale et sur un intervalle

À une extrémité, seul le côté contenu dans le domaine est pertinent. Une fonction est continue sur $[a,b]$ si elle est continue sur $(a,b)$, continue à droite en $a$ et continue à gauche en $b$ :

$$\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a), \qquad \lim_{x\to b^-}f(x)=f(b).$$

Les discontinuités courantes comprennent un trou amovible, un saut entre des limites unilatérales inégales et un comportement non borné près d'une asymptote verticale.

Fonctions construites à partir de fonctions continues

Les polynômes sont continus sur $\mathbb{R}$. Les fonctions rationnelles sont continues là où leur dénominateur est non nul. Les fonctions exponentielles, logarithmiques, trigonométriques et racines sont continues sur leurs domaines respectifs.

Les sommes, produits et quotients définis de fonctions continues restent continus. Si $g$ est continue en $a$ et $f$ en $g(a)$, alors

$$(f\circ g)(x)=f(g(x))$$

est continue en $a$. Sous ces hypothèses de continuité, on peut faire passer la limite à travers $f$ :

$$\lim_{x\to a}f(g(x)) =f\left(\lim_{x\to a}g(x)\right).$$

Théorème des valeurs intermédiaires

Si $f$ est continue sur $[a,b]$ et si $N$ se trouve entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un $c\in[a,b]$ tel que $f(c)=N$.

Le théorème garantit l'existence, non l'unicité ni une formule pour $c$. En particulier, si $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes opposés, $[a,b]$ contient au moins une racine.

Combler un trou et localiser une racine

Posons $f(x)=(x^2-1)/(x-1)$ pour $x\ne1$ et $f(1)=c$. Près de $1$, la simplification donne $f(x)=x+1$, donc la limite vaut $2$. Seul le choix $c=2$ rend $f$ continue en $1$ ; modifier une valeur peut combler un trou, mais pas supprimer un saut.

Pour $p(x)=x^3-x-1$, la continuité et les valeurs $p(1)=-1$, $p(2)=5$ garantissent une racine dans $(1,2)$. La dichotomie conserve à chaque étape le demi-intervalle dont les valeurs aux extrémités sont de signes opposés ; puisque $p(1.5)=0.875$, le premier intervalle conservé est $[1,1.5]$. Après $n$ divisions, sa largeur vaut $2^{-n}$ : son milieu est donc à une distance au plus $2^{-n-1}$ d'une racine. La continuité est indispensable : $1/x$ change de signe entre $-1$ et $1$, sans avoir de zéro, car elle n'est pas continue sur $[-1,1]$.

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