Fonctions élémentaires et leurs dérivées

Conditions d'utilisation des tables

La fiche de dérivées sert à la consultation ; chaque formule s'applique uniquement là où la dérivée existe.

• $\ln x$ et $\log_a x$ exigent $x>0$. Pour $a^x$, il faut $a>0$ ; pour $\log_a x$, il faut aussi $a\ne1$.
• Les arguments trigonométriques sont en radians. Tangente et sécante excluent $\cos x=0$ ; cotangente et cosécante excluent $\sin x=0$.
• $\sin^{-1}$, $\cos^{-1}$ et $\tan^{-1}$ désignent les fonctions réciproques principales, et non les inverses multiplicatifs. Leurs images sont respectivement $[-\pi/2,\pi/2]$, $[0,\pi]$ et $(-\pi/2,\pi/2)$. L'arcsinus et l'arccosinus sont définis sur $[-1,1]$, mais les dérivées affichées exigent $-1<x<1$. L'arctangente et sa dérivée sont définies sur tous les réels.
• Les variantes de la règle de la chaîne exigent une fonction intérieure dérivable, dont les valeurs appartiennent au domaine de dérivabilité de la fonction extérieure. En particulier, $\ln(f(x))$ exige $f(x)>0$, et un inverse multiplicatif exige $g(x)\ne0$.
• Pour une constante réelle $n$, la formule des puissances vaut pour une base positive. Les extensions aux puissances entières figurent dans les conditions des règles ; les extrémités exigent une vérification séparée.

Une extension utile est $(\ln|f(x)|)'=f'(x)/f(x)$ là où $f$ est dérivable et non nulle. Par exemple, $\ln(x^2+1)$ a pour dérivée $2x/(x^2+1)$ pour tout réel $x$, tandis que $\ln x$ n'a pas de valeur réelle pour $x<0$, même si l'expression $1/x$ y est définie.

Fonctions usuelles

Type	Fonction	Dérivée
Fonction constante	$f(x) = c$	$f'(x) = 0$
Fonction affine	$f(x) = mx + b$	$f'(x) = m$
Fonction quadratique	$f(x) = ax^2 + bx + c$	$f'(x) = 2ax + b$
Exponentielle de base e	$f(x) = e^x$	$f'(x) = e^x$
Logarithme de base e	$f(x) = \ln(x)$	$f'(x) = \frac{1}{x}$
Exponentielle de base quelconque	$f(x) = a^x$	$f'(x) = a^x \ln(a)$
Logarithme de base quelconque	$f(x) = \log_a(x)$	$f'(x) = \frac{1}{x \ln(a)}$
Carré d'une fonction	$\frac{d}{dx} [f(x)]^2$	$2 f(x) f'(x)$
Inverse d'une fonction	$\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{g(x)}\right)$	$-\frac{g'(x)}{[g(x)]^2}$

Fonctions trigonométriques

Type	Fonction	Dérivée
Sinus	$f(x) = \sin(x)$	$f'(x) = \cos(x)$
Cosinus	$f(x) = \cos(x)$	$f'(x) = -\sin(x)$
Tangente	$f(x) = \tan(x)$	$f'(x) = \sec^2(x)$
Cotangente	$f(x) = \cot(x)$	$f'(x) = -\csc^2(x)$
Sécante	$f(x) = \sec(x)$	$f'(x) = \sec(x)\tan(x)$
Cosécante	$f(x) = \csc(x)$	$f'(x) = -\csc(x)\cot(x)$
Arc sinus	$f(x) = \sin^{-1}(x)$	$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
Arc cosinus	$f(x) = \cos^{-1}(x)$	$f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
Arc tangente	$f(x) = \tan^{-1}(x)$	$f'(x) = \frac{1}{1+x^2}$

Variantes de la règle de la chaîne

Dérivée composée
$\frac{d}{dx} f(x)^n = n f(x)^{n-1} \cdot f'(x)$
$\frac{d}{dx} e^{f(x)} = e^{f(x)} \cdot f'(x)$
$\frac{d}{dx} \ln(f(x)) = \frac{f'(x)}{f(x)}$
$\frac{d}{dx} \sin(f(x)) = \cos(f(x)) \cdot f'(x)$
$\frac{d}{dx} \cos(f(x)) = -\sin(f(x)) \cdot f'(x)$
$\frac{d}{dx} \tan(f(x)) = \sec^2(f(x)) \cdot f'(x)$
$\frac{d}{dx} \sec(f(x)) = \sec(f(x)) \tan(f(x)) \cdot f'(x)$
$\frac{d}{dx} \tan^{-1}(f(x)) = \frac{f'(x)}{1 + f(x)^2}$

Références

• Fiche de dérivées
• Manuel CLP-1
• Manuel de calcul du MIT

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