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积分性质与常用积分公式

使用条件​

定积分恒等式要求函数在涉及的每个区间上可积。不等式假设 a≤ba\le b。交换上下限会改变符号：∫baf=−∫abf\int_b^a f=-\int_a^b f。若分点 cc 位于 [a,b][a,b] 外，还须保证函数在新增区间上可积。

原函数公式只在实数定义域内的区间上使用，不能跨越奇点。下列公式的条件是：

  • 指数函数和一次分母公式中 a≠0a\ne0。若 a=0a=0，应单独积分所得常数；分母为零时表达式无定义。
  • ln⁡(ax)\ln(ax) 要求 ax>0ax>0；ln⁡∣x∣\ln|x| 要求 x≠0x\ne0；有理函数公式要求 ax+b≠0ax+b\ne0。
  • 反三角和反双曲函数公式取 a>0a>0；反正弦的被积函数还要求 ∣u∣<a|u|<a。sin⁡−1\sin^{-1} 表示反正弦，不表示正弦的倒数。
  • 任意实数幂可在 x>0x>0、n≠−1n\ne-1 时使用；整数幂可扩展到负数，负整数幂须排除零。
  • 正割和正切要求 cos⁡u≠0\cos u\ne0，余割和余切要求 sin⁡u≠0\sin u\ne0。

查表后可用求导核对。例如在 ax>0ax>0 上，(xln⁡(ax)−x)′=ln⁡(ax)+1−1=ln⁡(ax)(x\ln(ax)-x)'=\ln(ax)+1-1=\ln(ax)。线性性质不适用于乘积：∫01x2 dx=1/3\int_0^1x^2\,dx=1/3，而 (∫01x dx)2=1/4(\int_0^1x\,dx)^2=1/4。

积分的线性性质​

  • 可加性： ∫ab[f(x)+g(x)] dx=∫abf(x) dx+∫abg(x) dx\int_{a}^{b} [f(x) + g(x)] \, dx = \int_{a}^{b} f(x) \, dx + \int_{a}^{b} g(x) \, dx
  • 数乘： ∫abcf(x) dx=c∫abf(x) dx其中 c 为常数\int_{a}^{b} cf(x) \, dx = c \int_{a}^{b} f(x) \, dx \quad \text{其中 } c \text{ 为常数}

区间上的积分性质​

  • 区间可加性： ∫abf(x) dx=∫acf(x) dx+∫cbf(x) dx对任意 c\int_{a}^{b} f(x) \, dx = \int_{a}^{c} f(x) \, dx + \int_{c}^{b} f(x) \, dx \quad \text{对任意 } c
  • 零区间积分： ∫aaf(x) dx=0\int_{a}^{a} f(x) \, dx = 0

常函数的积分​

  • 常函数： ∫abc dx=c(b−a)其中 c 为常数\int_{a}^{b} c \, dx = c(b - a) \quad \text{其中 } c \text{ 为常数}

不等式性质​

  • 保序性： 若 f(x)≥g(x)f(x) \geq g(x) 在 [a,b][a, b] 上成立，则： ∫abf(x) dx≥∫abg(x) dx\int_{a}^{b} f(x) \, dx \geq \int_{a}^{b} g(x) \, dx
  • 非负性： 若 f(x)≥0f(x) \geq 0 在 [a,b][a, b] 上成立，则： ∫abf(x) dx≥0\int_{a}^{b} f(x) \, dx \geq 0
  • 估值定理（积分界）： 若 m≤f(x)≤Mm \leq f(x) \leq M 在 [a,b][a, b] 上成立，则： m(b−a)≤∫abf(x) dx≤M(b−a)m(b - a) \leq \int_{a}^{b} f(x) \, dx \leq M(b - a)

绝对值不等式​

  • 积分绝对值： ∣∫abf(x) dx∣≤∫ab∣f(x)∣ dx\left| \int_{a}^{b} f(x) \, dx \right| \leq \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx

常用积分公式​

基本幂函数与指数函数​

  • 常函数： ∫k dx=kx+C\int k \, dx = kx + C
  • 幂函数 (n≠−1n \neq -1)： ∫xn dx=1n+1xn+1+C\int x^n \, dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C
  • 指数函数： ∫eax dx=1aeax+C\int e^{ax} \, dx = \frac{1}{a}e^{ax} + C

对数函数与倒数函数​

  • 倒数函数： ∫1x dx=ln⁡∣x∣+C\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C
  • 对数函数： ∫ln⁡(ax) dx=xln⁡(ax)−x+C\int \ln(ax) \, dx = x \ln(ax) - x + C

三角函数​

  • 余弦： ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)+C\int \cos(u) \, du = \sin(u) + C
  • 正弦： ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)+C\int \sin(u) \, du = -\cos(u) + C
  • 正割平方： ∫sec⁡2(u) du=tan⁡(u)+C\int \sec^2(u) \, du = \tan(u) + C

反三角函数​

  • 反正弦： ∫1a2−u2 du=sin⁡−1(ua)+C\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - u^2}} \, du = \sin^{-1}\left(\frac{u}{a}\right) + C
  • 反正切： ∫1a2+u2 du=1atan⁡−1(ua)+C\int \frac{1}{a^2 + u^2} \, du = \frac{1}{a}\tan^{-1}\left(\frac{u}{a}\right) + C

涉及倒数的三角函数积分​

  • 正割： ∫sec⁡(u) du=ln⁡∣sec⁡(u)+tan⁡(u)∣+C\int \sec(u) \, du = \ln|\sec(u) + \tan(u)| + C
  • 余割： ∫csc⁡(u) du=−ln⁡∣csc⁡(u)+cot⁡(u)∣+C\int \csc(u) \, du = -\ln|\csc(u) + \cot(u)| + C
  • 余割平方： ∫csc⁡2(u) du=−cot⁡(u)+C\int \csc^2(u) \, du = -\cot(u) + C

双曲函数​

  • 双曲正弦： ∫sinh⁡(u) du=cosh⁡(u)+C\int \sinh(u) \, du = \cosh(u) + C
  • 双曲余弦： ∫cosh⁡(u) du=sinh⁡(u)+C\int \cosh(u) \, du = \sinh(u) + C

换元积分法​

对于复合函数 f(g(x))f(g(x))，若令 u=g(x)u = g(x)，则 du=g′(x)dxdu = g'(x)dx。例如，当被积函数形式为 sec⁡(u)tan⁡(u)\sec(u)\tan(u) 时： ∫sec⁡(g(x))tan⁡(g(x))g′(x) dx=sec⁡(g(x))+C\int \sec(g(x)) \tan(g(x)) g'(x) \, dx = \sec(g(x)) + C

有理函数积分​

  • 简单有理函数： ∫1ax+b dx=1aln⁡∣ax+b∣+C\int \frac{1}{ax + b} \, dx = \frac{1}{a} \ln|ax + b| + C

涉及反双曲函数的积分​

  • 反双曲正弦： ∫1u2+a2 du=ln⁡(u+u2+a2)+C\int \frac{1}{\sqrt{u^2 + a^2}} \, du = \ln(u + \sqrt{u^2 + a^2}) + C
探索关联

被引用 (1)

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