Lois des limites

Supposons que

$$\lim_{x\to a}f(x)=L \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to a}g(x)=M.$$

Pour une constante $c$ et un entier strictement positif $n$, les lois élémentaires sont

$$\begin{aligned} \lim_{x\to a}c &= c,\\ \lim_{x\to a}x &= a,\\ \lim_{x\to a}\bigl(f(x)\pm g(x)\bigr) &= L\pm M,\\ \lim_{x\to a}c f(x) &= cL,\\ \lim_{x\to a}f(x)g(x) &= LM,\\ \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} &= \frac{L}{M}\quad(M\ne0),\\ \lim_{x\to a}f(x)^n &= L^n. \end{aligned}$$

Pour les racines $n$-ièmes,

$$\lim_{x\to a}\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{L}$$

à condition que l'expression soit définie près de $a$ ; pour une racine d'ordre pair, cela inclut la restriction habituelle à un domaine non négatif.

Ces lois combinent des limites qui existent déjà. Elles ne prouvent pas l'existence d'une limite composante, et les formes indéterminées comme $0/0$ invitent à transformer ou analyser l'expression plutôt qu'à substituer mécaniquement.

Conséquences

• Les polynômes sont continus partout ; leurs limites finies se calculent donc par substitution directe.
• Les fonctions rationnelles sont continues partout où leur dénominateur est non nul.
• Si $g(x)\le f(x)\le h(x)$ près de $a$ et si les deux fonctions extérieures tendent vers la même valeur $L$, le théorème des gendarmes donne $\lim_{x\to a}f(x)=L$.

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