Intégration par parties

Pour $u,v$ continûment dérivables sur $[a,b]$, intégrer $(uv)'=u'v+uv'$ puis réarranger donne

$$\int_a^b u(x)v'(x)\,dx=[u(x)v(x)]_a^b-\int_a^b v(x)u'(x)\,dx.$$

Choisir $u$ pour que sa dérivation le simplifie, et $dv$ pour que sa primitive soit accessible. La nouvelle intégrale doit être plus simple ; l’identité ne garantit pas un progrès. Dans le premier exemple, dériver $x$ supprime le facteur polynomial. Pour le logarithme, écrire l’intégrande $\ln x\cdot1$.

Pour les substitutions quadratiques ci-dessous, prendre $a,b>0$ et choisir une branche angulaire avant de supprimer les valeurs absolues. Pour sinus et tangente, prendre $-\pi/2<\theta<\pi/2$. Pour la sécante sur $x>a/b$, prendre $0<\theta<\pi/2$ ; traiter séparément la branche négative. Dans l’exemple du sinus, le domaine réel est $0<|x|<2/3$ et $\theta=\arcsin(3x/2)$ garantit $\cos\theta>0$. Pour $x<0$, la relation de cotangente découle aussi de $\cot\theta=\cos\theta/\sin\theta$, sans attribuer une longueur négative à un côté du triangle.

Pour les éléments simples, effectuer d’abord la division polynomiale si le degré du numérateur n’est pas inférieur. Factoriser sur les réels ; les facteurs quadratiques du tableau doivent être irréductibles ($b^2-4ac<0$). Tout facteur répété exige toutes les puissances jusqu’à sa multiplicité. L’exemple rationnel est valable séparément sur $x<1$ et $x>1$.

Intégration par parties

L'intégration par parties est une technique basée sur la règle de dérivation d'un produit. La formule est :

$$\int u dv = uv - \int v du$$

Le choix de $u$ et $dv$ est crucial, et dériver $u$ et intégrer $dv$ nous donne respectivement $du$ et $v$.

Exemple I

$$\int x e^{-x} \, dx$$

Posons $u = x$, ce qui implique $du = dx$. Choisissons $dv = e^{-x} dx$, alors $v = -e^{-x}$.

D'après la formule d'intégration par parties $\int u \, dv = uv - \int v \, du$, on obtient :

$$\int x e^{-x} \, dx = uv - \int v \, du$$ $$\int x e^{-x} \, dx = -x e^{-x} - \int -e^{-x} \, dx$$

Puisque $\int -e^{-x}\,dx=e^{-x}$, soustraire cette intégrale donne :

$$\int x e^{-x} \, dx = -x e^{-x} - e^{-x} + C = -(x+1)e^{-x}+C$$

Où $C$ est la constante d'intégration.

Exemple II

$$\int_{3}^{5} \ln(x) \, dx$$

Posons $u = \ln(x)$, ce qui implique $du = \frac{1}{x}dx$. Choisissons $dv = dx$, alors $v = x$.

En utilisant la formule d'intégration par parties $\int_{a}^{b} u \, dv = uv \bigg|_{a}^{b} - \int_{a}^{b} v \, du$, nous obtenons :

$$\int_{3}^{5} \ln(x) \, dx = x\ln(x) \bigg|_{3}^{5} - \int_{3}^{5} x \, \frac{1}{x} \, dx$$

En simplifiant l'intégrale $\int_{3}^{5} x \, \frac{1}{x} \, dx$ en $\int_{3}^{5} dx$, nous avons :

$$\int_{3}^{5} \ln(x) \, dx = x\ln(x) \bigg|_{3}^{5} - \int_{3}^{5} dx$$ $$\int_{3}^{5} \ln(x) \, dx = x\ln(x) \bigg|_{3}^{5} - x \bigg|_{3}^{5}$$

En soustrayant $5 - 3$ de $5\ln(5) - 3\ln(3)$, le résultat final est :

$$\int_{3}^{5} \ln(x) \, dx = 5\ln(5) - 3\ln(3) - (5 - 3)$$ $$\int_{3}^{5} \ln(x) \, dx = 5\ln(5) - 3\ln(3) - 2$$

Substitutions trigonométriques dans l'intégration

Substitutions basées sur la forme quadratique

Cas 1 : $\sqrt{a^2 - b^2x^2}$

• Substitution : $x = \frac{a}{b} \sin(\theta)$
• Identité : $\cos^2(\theta) = 1 - \sin^2(\theta)$

Cas 2 : $\sqrt{b^2x^2 - a^2}$

• Substitution : $x = \frac{a}{b} \sec(\theta)$
• Identité : $\tan^2(\theta) = \sec^2(\theta) - 1$

Cas 3 : $\sqrt{a^2 + b^2x^2}$

• Substitution : $x = \frac{a}{b} \tan(\theta)$
• Identité : $\sec^2(\theta) = 1 + \tan^2(\theta)$

Exemple

$$\int \frac{16}{x^2 \sqrt{4-9x^2}} \, dx$$

Posons $x = \frac{2}{3} \sin(\theta)$, ce qui implique $dx = \frac{2}{3}\cos(\theta)d\theta$.

$$\sqrt{4-9x^2}=\sqrt{4-4\sin^2(\theta)}=\sqrt{4\cos^2(\theta)}= 2 \mid \cos(\theta) \mid$$

Dans ce cas, nous avons $\sqrt{4-9x^2} = 2\cos(\theta)$

$$\int \frac{16}{x^2 \sqrt{4-9x^2}} \, dx = \int \frac{16}{\left(\frac{2}{3}\sin(\theta)\right)^2 \cdot 2\cos(\theta)} \cdot \frac{2}{3}\cos(\theta) \, d\theta = \int \frac{12}{\sin^2(\theta)} \, d\theta$$ $$\int \frac{16}{\left(\frac{2}{3}\sin(\theta)\right)^2 \cdot 2\cos(\theta)} \cdot \frac{2}{3}\cos(\theta) \, d\theta = \int 12 \csc^2(\theta) \, d\theta$$

Cette simplification utilise l'identité $\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1$ et la définition de $\csc(\theta) = \frac{1}{\sin(\theta)}$.

La primitive de $\csc^2(\theta)$ est $- \cot(\theta)$. Ainsi, l'évaluation donne :

$$\int 12 \csc^2(\theta) \, d\theta = -12 \cot(\theta) + C$$

Utilisation de la trigonométrie du triangle rectangle

Pour revenir à $x$, nous utilisons la relation du triangle rectangle où $\sin(\theta) = \frac{3x}{2}$ d'après la substitution initiale.

Le triangle formé par la substitution suggère que :

$$\cot(\theta) = \frac{\sqrt{4 - 9x^2}}{3x}$$

Intégrale finale en fonction de x

En substituant $\cot(\theta)$ dans l'expression de l'intégrale :

$$-12 \cot(\theta) + C = -4\sqrt{4 - 9x^2} \frac{1}{x} + C$$

Ainsi, la primitive finale en termes de $x$ est :

$$\int \frac{16}{x^2 \sqrt{4 - 9x^2}} \, dx = -4 \frac{\sqrt{4 - 9x^2}}{x} + C$$

Décomposition en éléments simples pour l'intégration

Concept

La décomposition en éléments simples est une technique utilisée pour simplifier l'intégration d'expressions rationnelles, $\frac{P(x)}{Q(x)}$, où le degré de $P(x)$ est strictement inférieur au degré de $Q(x)$.

Étapes de la décomposition

1. Factoriser le dénominateur $Q(x)$ aussi complètement que possible.
2. Écrire une fraction partielle pour chaque facteur de $Q(x)$ en utilisant des constantes pour représenter les numérateurs.
3. Déterminer les constantes en éliminant les dénominateurs et en égalisant les coefficients des puissances correspondantes de $x$.

Tableau pour la décomposition

Facteur de $Q(x)$	Terme dans la décomposition en éléments simples
$ax + b$	$\frac{A}{ax + b}$
$ax^2 + bx + c$	$\frac{Ax + B}{ax^2 + bx + c}$
$(ax + b)^k$	$\frac{A_1}{ax + b} + \frac{A_2}{(ax + b)^2} + \cdots + \frac{A_k}{(ax + b)^k}$
$(ax^2 + bx + c)^k$	$\frac{A_1x + B_1}{ax^2 + bx + c} + \cdots + \frac{A_kx + B_k}{(ax^2 + bx + c)^k}$

Exemple d'intégration par fractions partielles

$$\int \frac{7x^2 + 13x}{(x - 1)(x^2 + 4)} \, dx$$

Décomposition en fractions partielles

Pour décomposer la fonction, supposons qu'elle puisse s'écrire comme la somme de fractions :

$$\frac{7x^2 + 13x}{(x - 1)(x^2 + 4)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{Bx + C}{x^2 + 4}$$

Où $A$, $B$ et $C$ sont des constantes à déterminer.

Détermination des constantes

Multipliez les deux membres par le dénominateur commun $(x - 1)(x^2 + 4)$ et égalisez les numérateurs :

$$7x^2 + 13x = A(x^2 + 4) + (Bx + C)(x - 1)$$

En développant le membre de droite et en regroupant les termes semblables, on obtient :

$$7x^2 + 13x = (A + B)x^2 + (C - B)x + 4A - C$$

Égalisation des coefficients

Faites correspondre les coefficients des puissances correspondantes de $x$ des deux côtés de l'équation :

$$\begin{align*} x^2: & \quad A + B = 7 \\ x: & \quad C - B = 13 \\ \text{Constant}: & \quad 4A - C = 0 \end{align*}$$

Résolution du système d'équations

Résolvez ce système d'équations linéaires pour trouver les valeurs de $A$, $B$ et $C$ :

$$\begin{align*} A & = 4 \\ B & = 3 \\ C & = 16 \end{align*}$$

Réécriture de l'intégrale

Substituez les valeurs de $A$, $B$ et $C$ dans les fractions partielles :

$$\int \frac{4}{x - 1} + \frac{3x + 16}{x^2 + 4} \, dx$$

Intégration de chaque terme

1. Pour $\frac{4}{x - 1}$, la primitive est $4 \ln|x - 1|$.
2. Pour $\frac{3x}{x^2 + 4}$, utilisez la substitution $u = x^2 + 4$ pour trouver la primitive $\frac{3}{2} \ln|x^2 + 4|$.
3. Pour $\frac{16}{x^2 + 4}$, reconnaissez-la comme la dérivée de $8\tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)$ car $\frac{d}{dx}\left[\tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)\right] = \frac{2}{x^2 + 4}$.

Réponse finale

Combinez toutes les primitives et ajoutez la constante d'intégration pour obtenir la solution finale :

$$\int \frac{7x^2 + 13x}{(x - 1)(x^2 + 4)} \, dx = 4 \ln|x - 1| + \frac{3}{2} \ln|x^2 + 4| + 8\tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C$$

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