Propriétés des intégrales et intégrales usuelles

Conditions d’utilisation

Les identités d’intégrales définies supposent l’intégrabilité sur tous les intervalles concernés. Les inégalités supposent $a\le b$. Inverser les bornes change le signe : $\int_b^a f=-\int_a^b f$. Un point $c$ extérieur à $[a,b]$ exige aussi l’intégrabilité sur les intervalles supplémentaires.

Les primitives s’utilisent sur des intervalles du domaine réel, sans traverser de singularité. Dans les formules suivantes :

• $a\ne0$ pour l’exponentielle et le dénominateur linéaire ; si $a=0$, intégrer séparément la constante obtenue, sauf si le dénominateur est nul.
• $ax>0$ pour $\ln(ax)$ ; $x\ne0$ pour $\ln|x|$ ; $ax+b\ne0$ pour la formule rationnelle.
• Prendre $a>0$ pour les formules trigonométriques et hyperboliques inverses, et $|u|<a$ pour l’intégrande de l’arcsinus. $\sin^{-1}$ désigne l’arcsinus, non l’inverse multiplicatif du sinus.
• Pour une puissance réelle quelconque, prendre $x>0$ et $n\ne-1$ ; les puissances entières peuvent admettre les entrées négatives, en excluant zéro pour les exposants négatifs.
• Sécante et tangente exigent $\cos u\ne0$ ; cosécante et cotangente exigent $\sin u\ne0$.

Vérifier une formule par dérivation : sur $ax>0$, $(x\ln(ax)-x)'=\ln(ax)+1-1=\ln(ax)$. La linéarité ne s’étend pas aux produits : $\int_0^1x^2\,dx=1/3$, tandis que $(\int_0^1x\,dx)^2=1/4$.

Linéarité de l'intégration

• Additivité : $\int_{a}^{b} [f(x) + g(x)] \, dx = \int_{a}^{b} f(x) \, dx + \int_{a}^{b} g(x) \, dx$
• Multiplication par un scalaire : $\int_{a}^{b} cf(x) \, dx = c \int_{a}^{b} f(x) \, dx \quad \text{où } c \text{ est une constante}$

Intégrales sur des intervalles adjacents

• Combinaison d'intervalles : $\int_{a}^{b} f(x) \, dx = \int_{a}^{c} f(x) \, dx + \int_{c}^{b} f(x) \, dx \quad \text{pour tout } c$
• Intégrale nulle : $\int_{a}^{a} f(x) \, dx = 0$

Constantes dans les intégrales

• Fonction constante : $\int_{a}^{b} c \, dx = c(b - a) \quad \text{où } c \text{ est une constante}$

Propriétés d'inégalité

• Conservation de l'ordre : Si $f(x) \geq g(x)$ sur $[a, b]$ : $\int_{a}^{b} f(x) \, dx \geq \int_{a}^{b} g(x) \, dx$
• Non-négativité : Si $f(x) \geq 0$ sur $[a, b]$ : $\int_{a}^{b} f(x) \, dx \geq 0$
• Encadrement de l'intégrale : Si $m \leq f(x) \leq M$ sur $[a, b]$ : $m(b - a) \leq \int_{a}^{b} f(x) \, dx \leq M(b - a)$

Inégalité de la valeur absolue

• Valeur absolue d'une intégrale : $\left| \int_{a}^{b} f(x) \, dx \right| \leq \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx$

Intégrales usuelles

Fonctions puissances et exponentielles de base

• Fonction constante : $\int k \, dx = kx + c$
• Fonction puissance (n ≠ -1) : $\int x^n \, dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + c$
• Fonction exponentielle : $\int e^{ax} \, dx = \frac{1}{a}e^{ax} + c$

Fonctions logarithmiques et inverses

• Fonction inverse : $\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + c$
• Fonction logarithmique : $\int \ln(ax) \, dx = x \ln(ax) - x + c$

Fonctions trigonométriques

• Cosinus : $\int \cos(u) \, du = \sin(u) + c$
• Sinus : $\int \sin(u) \, du = -\cos(u) + c$
• Sécante carrée : $\int \sec^2(u) \, du = \tan(u) + c$

Fonctions trigonométriques inverses

• Arc sinus (sinus inverse) : $\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - u^2}} \, du = \sin^{-1}\left(\frac{u}{a}\right) + c$
• Arc tangente (tangente inverse) : $\int \frac{1}{a^2 + u^2} \, du = \frac{1}{a}\tan^{-1}\left(\frac{u}{a}\right) + c$

Identités trigonométriques faisant intervenir des inverses

• Sécante : $\int \sec(u) \, du = \ln|\sec(u) + \tan(u)| + c$
• Cosécante : $\int \csc(u) \, du = -\ln|\csc(u) + \cot(u)| + c$
• Cosécante carrée : $\int \csc^2(u) \, du = -\cot(u) + c$

Fonctions hyperboliques

• Sinus hyperbolique (sinh) : $\int \sinh(u) \, du = \cosh(u) + c$
• Cosinus hyperbolique (cosh) : $\int \cosh(u) \, du = \sinh(u) + c$

Intégration par changement de variable

Pour une fonction $f(u)$ où $u = g(x)$, la méthode de substitution peut être utilisée. Par exemple :

• Pour $f(u) = \sec(u) \tan(u)$, et $u = g(x)$ : $\int \sec(g(x)) \tan(g(x)) g'(x) \, dx = \sec(g(x)) + C$

Intégrale d'une fonction rationnelle

• Fonction rationnelle simple : $\int \frac{1}{ax + b} \, dx = \frac{1}{a} \ln|ax + b| + c$

Intégrales faisant intervenir des fonctions hyperboliques inverses

• Sinus hyperbolique inverse : $\int \frac{1}{\sqrt{u^2 + a^2}} \, du = \ln(u + \sqrt{u^2 + a^2}) + c$

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