Fonctions à plusieurs variables et dérivées partielles

Vue d’ensemble

Le calcul différentiel étend son champ d’étude aux fonctions de plusieurs variables, passant de l’étude des fonctions d’une seule variable et de leurs dérivées à l’exploration du domaine des fonctions multivariées. Cette progression est essentielle pour aborder des domaines tels que l’optimisation et l’apprentissage automatique, où les fonctions dépendent souvent de nombreuses variables.

Tangentes : des droites aux plans

Contexte à une seule variable

Considérons une fonction univariée, $f(x) = x^2$. Sa dérivée, $\frac{df}{dx}$, représente la pente de la droite tangente en tout point donné de la courbe. Par exemple, en $x=0.2$, la valeur de la fonction est $f(0.2)=0.04$ et la pente de la droite tangente est $f'(0.2)=0.4$.

Contexte à plusieurs variables

En revanche, pour une fonction bivariée $f(x, y) = x^2 + y^2$, le concept de tangence s’élargit d’une droite à un plan. Pour visualiser cette fonction et ses structures tangentes, il faut employer une représentation en 3 dimensions, où les axes $x$ et $y$ définissent le plan et l’axe $z$ représente la valeur de la fonction, $f(x, y)$.

Dériver le plan tangent

La construction d’un plan tangent en un point donné sur la surface définie par $f(x, y)$ implique d’analyser le comportement de la fonction le long de deux chemins distincts qui se croisent au point considéré.

Procédure

Fixer $y$

1. En fixant $y$ (par exemple $y = 4$), la fonction se réduit à un contexte à une seule variable le long de l’axe $x$, ce qui donne une coupe $f(x, 4) = x^2 + 16$.
2. La dérivée de cette coupe par rapport à $x$, $\frac{\partial f}{\partial x} = 2x$, donne la pente de la droite tangente dans la direction de l’axe $x$.

Fixer $x$

1. De même, en fixant $x$ (par exemple $x = 2$), et en considérant une coupe le long de l’axe $y$, $f(2, y) = 4 + y^2$.
2. La dérivée de cette coupe par rapport à $y$, $\frac{\partial f}{\partial y} = 2y$, fournit la pente de la droite tangente dans la direction de l’axe $y$.

Synthèse du plan tangent

Lorsque la fonction est différentiable au point considéré, son plan tangent est engendré par ces deux tangentes sécantes. Les dérivées partielles seules ne garantissent pas la différentiabilité ; voir le contre-exemple ci-dessous.

Dérivées partielles

Vue conceptuelle

Considérons une fonction $f(x, y)$ représentant une surface dans l’espace tridimensionnel. Si nous coupons cette surface par un plan parallèle à l’axe $x$ ou à l’axe $y$, nous obtenons une courbe sur la surface. La pente de la tangente à cette courbe en tout point représente une dérivée partielle de la fonction en ce point, selon la direction de la coupe.

Visualisation par coupes

• Coupe parallèle à l’axe $x$ : Fixer une valeur de $y$ et la traiter comme une constante transforme $f(x, y)$ en une fonction d’une seule variable $x$, représentée par une courbe sur la surface. La pente de la tangente à cette courbe est la dérivée partielle de $f$ par rapport à $x$, notée $\frac{\partial f}{\partial x}$ ou $f_x$.
• Coupe parallèle à l’axe $y$ : De même, fixer $x$ et le traiter comme une constante transforme $f(x, y)$ en une fonction de $y$ seul. La pente de la tangente à cette courbe est la dérivée partielle de $f$ par rapport à $y$, notée $\frac{\partial f}{\partial y}$ ou $f_y$.

Calculer les dérivées partielles

Exemple 1 : Fonction $f(x, y) = x^2 + y^2$

• Dérivée partielle par rapport à $x$ : En traitant $y$ comme une constante, la dérivée partielle $\frac{\partial f}{\partial x}$ est obtenue en dérivant $f(x, y)$ par rapport à $x$, ce qui donne $2x$.
• Dérivée partielle par rapport à $y$ : En traitant $x$ comme une constante, la dérivée partielle $\frac{\partial f}{\partial y}$ est $2y$.

Méthode générale

1. Fixer les autres variables : Traitez toutes les variables autres que celle par rapport à laquelle la dérivation est effectuée comme des constantes.
2. Dériver : Appliquez les règles ordinaires de dérivation à la fonction par rapport à la variable d’intérêt.

Exemple 2 : Fonction $f(x, y) = 3x^2y^3$

• Dérivée partielle par rapport à $x$ : En traitant $y$ comme une constante, dérivez $f(x, y)$ par rapport à $x$, conduisant à $6xy^3$.
• Dérivée partielle par rapport à $y$ : En traitant $x$ comme une constante, dérivez $f(x, y)$ par rapport à $y$, ce qui donne $9x^2y^2$.

Quand le plan tangent fournit une approximation

En un point intérieur $(a,b)$, la dérivée partielle est une limite où l’autre entrée reste fixe :

$$f_x(a,b)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h,b)-f(a,b)}h.$$

Le plan tangent n’approche les variations dans toutes les directions que si $f$ est différentiable en ce point, c’est-à-dire si

$$f(a+h,b+k)=f(a,b)+f_x(a,b)h+f_y(a,b)k+r(h,k), \qquad \frac{r(h,k)}{\sqrt{h^2+k^2}}\to0.$$

Des dérivées partielles continues dans un voisinage constituent une condition suffisante. Pour $x^2+y^2$ en $(2,4)$, le plan est donc $z=20+4(x-2)+8(y-4)$. En $(2.1,3.9)$, il prédit $19.6$, contre $19.62$ exactement ; les termes quadratiques omis contribuent $0.02$.

L’existence des dérivées partielles ne suffit pas. Posons $f(x,y)=xy/(x^2+y^2)$ hors de l’origine et $f(0,0)=0$. Les deux dérivées partielles à l’origine sont nulles, mais sur $y=x\ne0$, $f=1/2$. La fonction n’y est même pas continue : les coupes suivant les coordonnées ne justifient donc pas un plan tangent.

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