统计与概率

概率论是从模型出发，推导可能出现的观测结果；统计学则是从观测数据入手，反向推断背后的过程、参数或做出决策。

核心学习路径

1. 事件、计数、条件概率与独立性；
2. 随机变量、分布、期望、方差与协方差；
3. 大数定律与中心极限定理；
4. 抽样、估计量、不确定性与置信区间；
5. 假设检验、效应量与多重比较；
6. 实验设计与样本量规划。

下面的速查涵盖初等概率模型和重复抽样下的推断，不展开回归、因果推断或完整的检验流程。Harvard Statistics 110 提供更完整的概率课程。

事件、条件概率与独立性

概率模型要指定可能的结果、事件（结果的集合）以及概率。概率非负，整个样本空间的概率为 1，互斥事件的概率可以相加。只有基本结果等可能时，才能使用“有利结果数除以总结果数”。

当 $P(B)>0$ 时，条件概率为 $P(A\mid B)=P(A\cap B)/P(B)$。若 $P(A\cap B)=P(A)P(B)$，两个事件就独立。概率均为正的互斥事件并不独立：一个发生就排除了另一个。贝叶斯更新利用条件概率，从先验和似然求出后验；$P(A\mid B)$ 与 $P(B\mid A)$ 通常不同。

随机变量与分布

随机变量为每个结果赋一个数，分布描述这些数出现的概率。离散变量的概率质量函数 $p(x)$ 之和为 1。若连续变量有密度 $f$，则概率由积分给出：$P(a\le X\le b)=\int_a^b f(x)\,dx$。密度值不是点概率；此时 $P(X=x)=0$，而密度值可以大于 1。

模型	含义与假设	均值与方差
Bernoulli$(p)$	单个指示变量，成功取 1，否则取 0，$0\le p\le1$	$p$；$p(1-p)$
Binomial$(n,p)$	$n$ 次独立、成功概率同为 $p$ 的伯努利试验中成功的次数	$np$；$np(1-p)$
Normal$(\mu,\sigma^2)$	连续钟形模型，$\sigma>0$	$\mu$；$\sigma^2$
Exponential$(\lambda)$	速率恒为 $\lambda>0$ 的非负等待时间	$1/\lambda$；$1/\lambda^2$

模型是假设，需要检验是否适合，不能仅凭直方图贴标签。从较小有限总体中不放回抽样，不会得到独立的伯努利试验。

期望与波动

期望是按概率加权的平均：离散情形为 $E[X]=\sum_x xp(x)$，有密度时为 $\int x f(x)\,dx$，前提是 $E[|X|]$ 有限。二阶矩有限时，方差为 $\operatorname{Var}(X)=E[(X-E[X])^2]$。标准差是方差的平方根，单位与 $X$ 相同。

公平骰子满足 $E[X]=3.5$、$E[X^2]=91/6$，因此 $\operatorname{Var}(X)=91/6-3.5^2=35/12$。期望本身未必是可能出现的结果。期望的线性性质 $E[X+Y]=E[X]+E[Y]$ 不需要独立性，但方差满足：

$$\operatorname{Var}(X+Y)=\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y)+2\operatorname{Cov}(X,Y).$$

协方差是 $E[(X-E[X])(Y-E[Y])]$。二阶矩存在时，独立可推出协方差为零，反过来一般不成立。

收益率、分散投资与组合风险用两资产算例，把协方差用于计算组合波动率。

从样本到估计

若观测独立同分布，均值为 $\mu$、有限方差为 $\sigma^2$，样本均值就是无偏估计：$E[\bar X]=\mu$。它的方差为 $\sigma^2/n$，标准误为 $\sigma/\sqrt n$。标准差描述单个观测的波动，标准误描述重复抽样时估计量的波动。

例如做 100 次独立的伯努利试验，若 $p=0.5$，样本比例的标准误为 $0.05$。取约两倍标准误，可得到近似 95% 正态置信区间的半宽 $0.10$。在假设成立时，95% 置信区间程序在重复抽样中有 95% 的区间覆盖固定的真实参数；它不是给某次观测所得区间赋予“参数落在其中的后验概率为 95%”。

大数定律说明平均值趋近期望；中心极限定理描述标准化波动的极限形状。两者都不能消除抽样偏差。如果抽样系统性地遗漏某些人，或受访者自行选择是否参加，更多回答可能只是让有偏估计更精确。使用样本量公式前，应先说明目标总体与抽样机制；随机分配处理与随机抽取样本解决的是不同问题。

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每条横线来自一次不同的抽样，竖直虚线代表固定的总体均值。带空心点的区间没有覆盖均值。覆盖率描述重复抽样的长期表现：图中恰好有 24 个区间覆盖了均值，并不要求每一批区间都恰好有 95% 覆盖。

OpenIntro Statistics, 2nd ed., Chapter 4 slides, slide 15 (figure crop). · CC BY-SA 3.0

在 Seeing Theory 的置信区间实验中选择总体分布、样本量和置信水平，再反复抽样生成区间。对照区间宽度与是否覆盖固定的总体均值；改变置信水平改变的是构造方法，不是总体参数。

从观测数据计算置信区间

假设测量值独立地来自同一个正态总体，均值和方差均未知。NIST 的均值区间使用观测到的样本均值 $\bar x$ 和样本标准差 $s$，后者计算方差时以 $n-1$ 为分母：

$$\bar x\pm t_{0.975,n-1}\frac{s}{\sqrt n}.$$

$t_{0.975,n-1}$ 是自由度为 $n-1$ 的 Student t 分布的 97.5% 分位数。取示例观测 [8, 9, 10, 11, 12]，有 $\bar x=10$、$s^2=10/4=2.5$、$s/\sqrt5\approx0.7071$。使用 $t_{0.975,4}\approx2.7764$，得到约为 $[8.037,11.963]$ 的 95% 置信区间。这里的精确覆盖率依赖正态性与独立性，仅有五个观测无法证明这些假设成立。这是总体均值的区间，不是包含 95% 未来个体观测的范围。

Bootstrap 与配对模型比较

没有合适的解析区间时，可以用非参数 bootstrap 近似重复抽样：从已有样本中有放回地抽取 $n$ 个观测，重新计算统计量，重复多次。百分位区间取这些统计量的 2.5% 与 97.5% 分位数。它是近似方法，不保证精确覆盖；偏斜、偏差、稀有事件或退化样本都可能让结果不可靠。SciPy 的 bootstrap 文档介绍了百分位、basic 和偏差校正加速（BCa）区间。

在同一批独立测试案例上比较两个固定模型时，先计算逐例损失差 $d_i=\ell_A(i)-\ell_B(i)$。若损失越小越好，平均差为正就有利于 B。重采样时抽取案例索引，始终保留每个案例的 A/B 配对；分别抽取 A 和 B 会丢掉这种依赖。平均差的百分位区间包含零，不等于已经证明两模型等效，还要看差异大小对实际决策是否有意义。

重采样单位必须符合抽样设计。同一个人的重复观测需要考虑群组依赖；时间相关数据可能需要合适的时间块，以及关于时间稳定性的假设。对固定预测重采样，只衡量测试样本的不确定性，不包含重新训练模型的变化或未来分布迁移。增加 bootstrap 次数能减少模拟噪声，不能消除原始样本的偏差。分布迁移下的模型评估需要据此区分不同的不确定性。

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