样本量计算公式

这两个公式用于简单随机抽样的前期规划，目的是确定构建单个总体均值或比例置信区间所需的样本量。注意，公式本身不保证统计显著性或结果的可推广性。如果涉及聚类设计、有限总体、预期无应答或假设检验，还需要额外的调整或不同的公式。

1. 估计总体均值

若要达到指定的置信水平和精度来估计总体均值，样本量 $n$ 的计算公式为：

n = \left(\frac{Z_{\alpha/2} \times \sigma}{E}\right)^2

参数说明：

$n$ ：所需样本量
$Z_{\alpha/2}$ ：正的上尾临界值；对 $Z\sim N(0,1)$ ，定义为 $P(Z>Z_{\alpha/2})=\alpha/2$ ，即 $1-\alpha/2$ 分位数（95% 置信水平下约为 1.96）
$\sigma$ ：总体标准差的估计值
$E$ ：目标置信区间半宽，单位与均值相同；不保证实际误差一定小于这个值

示例：均值样本量计算

假设研究要求 95% 置信水平，估计总体标准差 $\sigma = 10$ ，误差范围 $E = 2$ ：

import math
from statistics import NormalDist

confidence_level = 0.95
sigma = 10
E = 2
Z = NormalDist().inv_cdf((1 + confidence_level) / 2)
n = math.ceil((Z * sigma / E)**2)
print(n)  # 97

2. 估计总体比例

若要在给定误差范围内估计总体比例，样本量 $n$ 的计算公式为：

n = \frac{Z_{\alpha/2}^2 \times p \times (1 - p)}{E^2}

参数说明：

$p$ ：总体中目标属性比例的估计值
$E$ ：误差范围

示例：比例样本量计算

假设问卷调查预计约 50% 的人持肯定态度，置信水平 95%，目标区间半宽为五个百分点：

import math
from statistics import NormalDist

confidence_level = 0.95
p = 0.5
E = 0.05
Z = NormalDist().inv_cdf((1 + confidence_level) / 2)
n = math.ceil(Z**2 * p * (1 - p) / E**2)
print(n)  # 385

关键注意事项：

向上取整：计算结果要向上取整，得到所需的有效观测数。向下取整可能使规划中的区间半宽超过目标；向上取整也不保证实际估计误差一定小于目标。
标准差估计：均值公式依赖于 $\sigma$ 的合理先验估计。
保守估计：若没有 $p$ 的先验估计，取 $p=0.5$ 是最保守的做法（此时 $p(1-p)$ 最大，样本量需求最高）。
修正系数：若预期存在无应答，需放大样本量；若使用加权或聚类设计，需计入设计效应（Design Effect）。

推导与解释

置信水平为 $1-\alpha$ 时，基于正态分布的均值区间半宽为 $Z_{\alpha/2}\sigma/\sqrt n$ 。要求它不超过 $E>0$ ，再对 $n$ 求解，就得到第一个公式。伯努利观测的方差为 $p(1-p)$ ，代入即可得到比例公式。因为 $p(1-p)=1/4-(p-1/2)^2$ ，在不知道 $p$ 时，取 $p=0.5$ 会使规划所需样本量最大。

两个算例分别需要 97 个和 385 个有效观测。比例算例的误差是绝对值 0.05，即五个百分点，不是估计比例的 5%。两个代码块都可以仅用 Python 标准库独立运行。将 $E$ 减半，所需样本量大致增至四倍。

这些是正态近似下的规划公式。 $\sigma$ 已知且数据独立正态时，均值区间是精确的；其他总体则依赖合适的中心极限定理近似。若 $\sigma$ 未知且样本小，可能需要迭代使用 t 分布，并考虑预调查标准差的不确定性。比例接近零或一时，正态近似可能很差；不能代入 $p=0$ 或 $p=1$ 就认定无需数据，而应选择二项分布区间方法，按其宽度规划。

有限总体与应答率

从规模为 $N$ 的有限总体中进行不放回简单随机抽样时，样本比例的方差会乘以 $(N-n)/(N-1)$ 。若 $n_0$ 是上面比例公式尚未取整的结果，对 $n$ 求解可得：

n_{\mathrm{finite}}=\left\lceil\frac{Nn_0}{N+n_0-1}\right\rceil.

例如 $N=1000$ 、置信水平 95%、 $p=0.5$ 、 $E=0.05$ 时， $n_0\approx384.146$ ，修正后需要 278 个有效回答。若预计应答率为 0.8，邀请 $\lceil278/0.8\rceil=348$ 人只能给出期望数量，不是保证。如果是否应答与研究结果有关，这项运算不会让最终样本仍然满足简单随机抽样。多邀请一些人本身不能消除无应答偏差。

若要规划“检测某个差异”的检验功效，还需效应量、目标功效、检验方法及组间分配。这与按指定区间宽度估计一个均值或比例，是不同的规划问题。

参考资料

Sample Size Formula - Statistics Solutions

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引用了 (1)

中心极限定理

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1. 估计总体均值​

示例：均值样本量计算​

2. 估计总体比例​

示例：比例样本量计算​

推导与解释​

有限总体与应答率​

参考资料​