反常积分与数值积分

反常积分通过极限处理无穷区间或无界奇点。只有有限个跳跃点的有界函数仍可有普通黎曼积分；间断本身不意味着积分反常。下列定义要求每个截断积分存在，而收敛要求各个所需极限均存在且有限。可参阅 Paul Dawkins 的反常积分讲解。

幂函数的无穷尾部判别须假设 $a>0$。零点附近的条件相反：$\int_0^1x^{-p}\,dx$ 当且仅当 $p<1$ 时收敛。$p\ne1$ 时，先积分得到 $x^{1-p}/(1-p)$，再取相应端点极限；$p=1$ 时使用 $\ln x$。因此

$$\int_1^\infty x^{-2}\,dx=\lim_{R\to\infty}(1-1/R)=1, \qquad \int_0^1x^{-1/2}\,dx=\lim_{\varepsilon\to0^+}(2-2\sqrt\varepsilon)=2.$$

但 $\int_0^1x^{-2}\,dx$ 发散。比较法的例子是：$x\ge1$ 时 $0\le1/(1+x^2)\le1/x^2$，所以前者的无穷尾部收敛。参与比较的函数须在有限截断区间上可积。

不能跨奇点抵消无穷大。$1/x$ 在 $[-1,1]$ 上的左右积分分别发散。对称截断虽给出零，但那是柯西主值，不是反常积分收敛。

反常积分

反常积分（Improper Integrals）处理两类特殊情况：积分区间无限长，或被积函数在区间内存在无界奇点。其核心定义是通过极限来赋予积分值。

无穷限积分

• 上限为无穷：

  $\int_{a}^{\infty} f(x) \, dx = \lim_{{t \to \infty}} \int_{a}^{t} f(x) \, dx$

• 下限为无穷：

  $\int_{-\infty}^{b} f(x) \, dx = \lim_{{t \to -\infty}} \int_{t}^{b} f(x) \, dx$

• 双侧无穷：

  需拆分为两部分，且两部分必须同时收敛：

  $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = \int_{-\infty}^{c} f(x) \, dx + \int_{c}^{\infty} f(x) \, dx$

被积函数间断

若 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 内的某点 $c$ 处无界，需将积分拆分为两部分，分别取极限：

• 在左端点 $a$ 处间断：

  $\int_{a}^{b} f(x) \, dx = \lim_{{t \to a^{+}}} \int_{t}^{b} f(x) \, dx$

• 在右端点 $b$ 处间断：

  $\int_{a}^{b} f(x) \, dx = \lim_{{t \to b^{-}}} \int_{a}^{t} f(x) \, dx$

• 在区间内部 $c$ 处间断 ($a < c < b$)：

  $\int_{a}^{b} f(x) \, dx = \int_{a}^{c} f(x) \, dx + \int_{c}^{b} f(x) \, dx$ (注：两部分积分必须均收敛)

比较判别法

对于定义在 $[a, \infty)$ 上的非负函数 $f(x)$ 和 $g(x)$：

• 收敛性传递： 若 $0 \leq f(x) \leq g(x)$ 且 $\int_a^\infty g(x)\,dx$ 收敛，则 $\int_a^\infty f(x)\,dx$ 必收敛。
• 发散性传递： 若 $0 \leq g(x) \leq f(x)$ 且 $\int_a^\infty g(x)\,dx$ 发散，则 $\int_a^\infty f(x)\,dx$ 必发散。

关键结论：p-积分

对于 $p > 0$，积分 $\int_{a}^{\infty} \frac{1}{x^p} \, dx$ 的收敛性仅取决于 $p$ 的值：

• $p > 1$ 时收敛；
• $p \leq 1$ 时发散。

数值积分方法

当定积分无法解析求解或计算过于复杂时，数值积分通过离散采样近似计算积分值。以下是三种常用算法。

中点法则 (Midpoint Rule)

将区间 $[a, b]$ 分为 $n$ 等份，取每个子区间的中点函数值乘以区间宽度并求和。

$$\int_{a}^{b} f(x) dx \approx \Delta x \left[ f\left(x_1^*\right) + f\left(x_2^*\right) + \ldots + f\left(x_n^*\right) \right]$$

其中 $\Delta x = \frac{b - a}{n}$，$x_i^*$ 为第 $i$ 个子区间的中点。

梯形法则 (Trapezoid Rule)

利用梯形面积公式近似曲线下面积。对每个子区间，取两端点函数值的平均值乘以宽度。

$$\int_{a}^{b} f(x) dx \approx \frac{\Delta x}{2} \left[ f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + \ldots + 2f(x_{n-1}) + f(x_n) \right]$$

辛普森法则 (Simpson's Rule)

每两个子区间用经过三个相邻采样点的二次曲线近似函数；函数足够光滑时，其收敛阶更高。要求子区间数 $n$ 必须为偶数。

$$\int_{a}^{b} f(x) dx \approx \frac{\Delta x}{3} \left[ f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + \ldots + 4f(x_{n-1}) + f(x_n) \right]$$

查看清晰大图

左图用一段抛物线穿过三个采样点，覆盖两个子区间；右图再接一段抛物线，继续覆盖下一对区间。这也解释了复合辛普森法为什么要求子区间数为偶数。与前面的矩形、梯形对照，看近似图形的顶边怎样从水平线、斜线变成曲线。

Gilbert Strang & Edwin Herman, OpenStax, Calculus Volume 2, Figure 3.16. · CC BY-NC-SA 4.0

应用场景

在计算机仿真、优化算法及无法符号积分的工程问题中，这些数值方法提供了高效的近似解。

Python 实现

import numpy as np

def midpoint_rule(f, a, b, n):
    if isinstance(n, bool) or not isinstance(n, int) or n <= 0:
        raise ValueError("n must be a positive integer")
    dx = (b - a) / n
    x_mid = np.linspace(a + dx/2, b - dx/2, n)
    return np.sum(f(x_mid)) * dx

def trapezoid_rule(f, a, b, n):
    if isinstance(n, bool) or not isinstance(n, int) or n <= 0:
        raise ValueError("n must be a positive integer")
    dx = (b - a) / n
    x = np.linspace(a, b, n + 1)
    return dx/2 * np.sum(f(x[:-1]) + f(x[1:]))

def simpsons_rule(f, a, b, n):
    if isinstance(n, bool) or not isinstance(n, int) or n <= 0:
        raise ValueError("n must be a positive integer")
    if n % 2 == 1:
        raise ValueError("n must be even for Simpson's Rule")
    dx = (b - a) / n
    x = np.linspace(a, b, n + 1)
    y = f(x)
    return dx/3 * np.sum(y[0:-1:2] + 4*y[1::2] + y[2::2])

参数说明

• f: 被积函数。
• a, b: 积分上下限。
• n: 子区间数量。
• dx: 步长（子区间宽度）。
• 注意：simpsons_rule 强制要求 n 为偶数。

误差界与可复算示例

设 $a<b$、$I=\int_a^b f(x)\,dx$。复合求积公式的误差界为

$$|I-M_n|\le\frac{K_2(b-a)^3}{24n^2},\qquad |I-T_n|\le\frac{K_2(b-a)^3}{12n^2},\qquad |I-S_n|\le\frac{K_4(b-a)^5}{180n^4}.$$

前两式要求二阶导数连续且绝对值不超过 $K_2$；辛普森公式要求四阶导数连续且绝对值不超过 $K_4$，并且 $n$ 为偶数。它们约束离散化误差，不包括浮点舍入误差。步长减半时，误差界分别缩小为原来的 $1/4$ 或 $1/16$。精确算术下，辛普森法对三次多项式精确，但对不光滑函数不保证总是更准。

对 $[0,1]$ 上的 $f(x)=x^2$，取 $n=2$，得到 $M_2=5/16$、$T_2=3/8$、$S_2=1/3$，而真值 $I=1/3$。绝对误差分别为 $1/48$、$1/24$ 和零，与 $K_2=2$、$K_4=0$ 的界一致。若要保证此例的梯形误差不超过 $10^{-4}$，可取 $n\ge\lceil\sqrt{1/(6\cdot10^{-4})}\rceil=41$。

实现需要已安装的 NumPy、有限上下限，以及能接收数组并返回同形状数组的函数。常函数应写成 lambda x: np.ones_like(x)，不能写成 lambda x: 1。这些是固定网格的教学程序，不是自适应奇异积分求解器。

f = lambda x: x**2
assert np.isclose(midpoint_rule(f, 0, 1, 2), 5/16)
assert np.isclose(trapezoid_rule(f, 0, 1, 2), 3/8)
assert np.isclose(simpsons_rule(f, 0, 1, 2), 1/3)

可比较 $n,2n,4n$ 的结果观察收敛，但数值接近不是严格误差保证：网格可能漏掉狭窄尖峰。梯形法和辛普森法不能直接采样奇异端点，应先分段或换元。无穷区间截断还会引入独立的尾部误差：把 $\int_1^\infty x^{-2}\,dx$ 换成 $\int_1^R x^{-2}\,dx$，恰好遗漏 $1/R$，加密网格也无法消除它。

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