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引力轨道：初速度、倾角与椭圆运动

打开引力轨道实验。改变初速度，观察卫星如何从接近圆形的路径变成椭圆；改变倾角，则能从不同方向看清轨道平面。基本物理背景见 NASA 的引力与力学说明。

怎么玩

拖动画布环绕观察，滚轮缩放；聚焦画布后，方向键旋转视角。相机交互使用 Three.js 的 OrbitControls，暂停时仍可操作。

初速度范围为 $0.6$ 到 $1.3$，倾角为 $0^\circ$ 到 $90^\circ$。调整任一参数都会从同一起点重新发射并清除尾迹。三个快捷预设分别取：圆轨道 $(1,20^\circ)$、椭圆轨道 $(0.75,35^\circ)$、极轨道 $(1,90^\circ)$。单步推进 $1/60$ 个模型时间单位；重置恢复默认圆轨道参数。

中心引力模型

中心天体固定，卫星不反过来推动它，取归一化引力参数 $\mu=GM=1$：

$$\ddot{\mathbf r}=-\frac{\mathbf r}{\lVert\mathbf r\rVert^3}.$$

初始距离为 1，速度与半径垂直，所以圆轨道速度为 1。此时逃逸速度是 $\sqrt{2}$，高于滑块上限；这组控件展示的都是束缚轨道。倾角只改变轨道平面，不改变能量。

位置和速度由 velocity Verlet 更新，每次仿真更新包含四个 $1/240$ 子步。半长轴和偏心率由初态得到：

$$a=\frac{1}{2-v_0^2},\qquad e=\left|1-v_0^2\right|.$$

看懂画面

左上角的 $r$ 是当前距离，$v$ 是当前速率，$e$ 是由初态算出的偏心率。箭头指示速度方向；渐隐尾迹记录最近 1,200 个更新位置；虚线是用同一积分器从初态预计算的一周参考路径，不是另一颗卫星。

程序纹理、光照、大气外壳和参考环用来提供空间层次。行星显示半径不参与引力计算，模型也不检测地表碰撞，没有阻力、推进器或多体摄动。显示球面只是视觉参照，轨迹由点质量引力决定。

与 双摆 一样，物理更新和显示分开。模型测试检查单位圆轨道绕行一周后的回归误差；装饰性着色不会改变积分结果。