Double pendule : divergence de conditions initiales proches
Ouvrir le double pendule. Deux pendules se superposent, avec des tiges pleines et pointillées. Leurs angles supérieurs initiaux ne diffèrent que de radian. Laissez-les évoluer, puis mettez en pause pour comparer les traces : des départs proches peuvent conduire à des chemins très différents.
Manipulation
Le curseur d’angle initial relance l’expérience. Faire glisser une masse change la configuration, annule les vitesses angulaires, efface les traces et recrée deux états séparés de radian. En pause, le bouton Pas à pas permet d’observer les mises à jour successives.
Une fois le canevas sélectionné, déplacez le carré avec les flèches et appuyez sur Entrée ou Espace pour régler un angle à cet endroit. Réinitialiser rétablit l’angle supérieur de ; l’angle inférieur commence radian plus loin.
Modèle et intégration
Les équations suivent la dérivation du double pendule de myPhysicsLab. Cette version utilise deux masses ponctuelles égales, des tiges rigides sans masse de longueur 1 et une gravité de . L’état contient les angles mesurés depuis la verticale descendante et leurs vitesses angulaires.
Le module de calcul emploie Runge–Kutta d’ordre quatre (RK4), avec un pas interne de . Chaque mise à jour effectue quatre sous-pas, soit unité de temps du modèle. Les deux états suivent le même algorithme ; leur différence vient du départ, sans bruit aléatoire.
Lire les traces
Canvas 2D dessine les tiges, les masses et les 700 dernières positions des extrémités. Les points anciens disparaissent parce que l’historique est borné. Un changement d’état initial efface cet historique.
L’énergie devrait rester constante dans ce modèle sans amortissement. Une fonction d’énergie permet aux tests de contrôler la dérive numérique, mais les longues trajectoires ne sont pas des prédictions exactes. La séparation peut tarder : elle dépend du départ et de la durée d’observation. L’attracteur de Rössler offre un autre exemple de système dynamique continu.