Analyse numérique

Un calcul informatique utilise généralement des nombres arrondis et des approximations. L’analyse numérique étudie leur effet sur le résultat et cherche à maintenir l’erreur dans une tolérance utile. Ses principaux sujets sont :

1. représentation en virgule flottante et erreurs d'arrondi ;
2. conditionnement des problèmes et stabilité des algorithmes ;
3. recherche de racines et optimisation ;
4. interpolation et approximation ;
5. dérivation et intégration numériques ;
6. systèmes linéaires et équations différentielles.

Pour étudier les méthodes avec des exemples et des exercices, consultez MIT OpenCourseWare 18.330.

Un vocabulaire minimal de l’erreur

Il faut d’abord distinguer la taille d’une erreur de sa cause. Pour une valeur exacte $y$ et une approximation $\hat y$, l’erreur absolue est $|\hat y-y|$ ; l’erreur relative est $|\hat y-y|/|y|$ si $y\ne0$. Près de zéro, une tolérance absolue est indispensable.

Le conditionnement décrit la sensibilité du problème mathématique aux perturbations des entrées. Pour $y=a-b$, si chaque entrée a une incertitude relative au plus égale à $\varepsilon$, l’incertitude absolue du résultat est au plus $\varepsilon(|a|+|b|)$. Diviser par $|a-b|$ donne la borne relative, qui devient grande lorsque les entrées sont proches. Un meilleur algorithme ne peut retrouver une information absente des données.

La stabilité décrit la propagation des erreurs d’arrondi et de calcul dans l’algorithme. Un algorithme stable au sens rétrograde renvoie la solution exacte d’un problème aux entrées voisines ; la précision du résultat dépend encore du conditionnement. La précision finie rend aussi les réarrangements algébriques importants : en arithmétique binary64, (1e16 + 1) - 1e16 vaut 0.0, non la valeur réelle 1.

L’erreur de discrétisation vient du remplacement d’un problème continu par un nombre fini d’échantillons. Raffiner la grille peut la réduire sans réduire l’incertitude des données ni l’arrondi. La note d’intégration numérique fournit un premier exemple complet : formules, code exécutable, hypothèses de régularité, bornes d’erreur et borne séparée pour la troncature d’une queue infinie.

Pour un calcul, fixer les tolérances absolue et relative, vérifier domaine et conditionnement, puis comparer les raffinements avec une borne analytique lorsqu’elle existe. Un faible changement entre approximations successives est un indice, non une preuve de précision.

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